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Páginas: 9 (2180 palabras) Publicado: 2 de mayo de 2013
Cap´
ıtulo 2

¿C´mo medir un conjunto?
o

TEMARIO
Lecci´n
o
Lecci´n
o
Lecci´n
o
Lecci´n
o
Lecci´n
o

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

La suma de Minkowski.
El volumen y el ´rea de superficie. Los vol´menes intr´
a
u
ınsecos.
Los vol´menes mixtos.
u
La desigualdad de Brunn-Minkowski y otras desigualdades.
Otras medidas geom´tricas. Problemas de optimizaci´n
e
o

es el centrode
Cuerpos
Tuvo
La Teor´ıa de Brunn-MinkowskiHermann Brunn la Geometr´ıa de los parte m´sConvexos. creaci´su
origen, como tal, en la Tesis de
en 1887 y es, en su
a esencial,
on
de Hermann Minkowski alrededor del cambio de siglo. Precisamente, el 10 de Diciembre de 1900,
Minkowski escribi´ a David Hilbert inform´ndole de que su estudio sobre el ´rea de superficie y
o
a
a
el volumen enR3 estaba completo, siendo su avance m´s importante la introducci´n de una idea
a
o
asociada a tres cuerpos convexos que ´l denomin´, provisionalmente, sus vol´menes mixtos.
e
o
u
Si queremos definir brevemente la Teor´ de Brunn-Minkowski, podr´
ıa
ıamos decir que ´sta es el
e
resultado de combinar y asociar dos nociones elementales para los conjuntos del espacio eucl´
ıdeo:
la sumavectorial y el volumen. La suma vectorial o de Minkowski, combinada con el volumen, nos
conduce a la noci´n de vol´menes mixtos y a la desigualdad fundamental de Brunn-Minkowski,
o
u
quiz´ la desigualdad m´s conocida relacionando el volumen de conjuntos convexos compactos.
a
a
Pero podemos remontarnos mucho m´s atr´s en el tiempo, y encontrar cuestiones que tambi´n se
a
a
e
enmarcar´ enesta teor´ Arist´teles (384-322 A.C.) se formul´ la siguiente pregunta:
ıan
ıa;
o
o
¿por qu´ el sol, cuando brilla a trav´s de un cuadrado, no produce formas rectangulares sino
e
e

ırculos, tal y como sucede en el caso en que ´ste brilla a trav´s de una cesta de mimbre?
e
e

´
¿Como medir un conjunto?

24

Una cuesti´n similar, debida a Tycho Brahe (1546-1601), trata sobre laimagen que toma el sol
o
sobre la pantalla de una c´mara oscura, dependiendo de la forma del diafragma.
a

Sol

Utilizando de manera impl´
ıcita la suma de Minkowski, Kepler (1571-1630) resolvi´ el problema
o
de Brahe demostrando que, en nuestra terminolog´ la imagen del sol es de la forma K + λB2 ,
ıa,
donde K es una figura convexa, un trasladado del diafragma. En definitiva, el hechosorprendente
que se esconde detr´s de tal efecto es que, cuando el sol pasa a trav´s de una abertura que tenga la
a
e
forma de un determinado conjunto K, la imagen que ´ste produce es, precisamente, la del llamado
e
conjunto paralelo exterior de K, es decir, la suma vectorial (o de Minkowski) de K y un c´
ırculo de
un radio adecuado. En 1840, Jakob Steiner calcul´ el ´rea de esta figura (as´como el volumen del
o a
ı
3 ), lo que podr´ considerarse el inicio real de toda esta teor´
correspondiente objeto en R
ıa
ıa.
El libro de Bonnesen y Fenchel de 1934 ([2]) fue el primer estudio sistem´tico que se llev´ a
a
o
cabo sobre Teor´ de Brunn-Minkowski; en ´l se recog´ lo que era ya una impresionante colecci´n
ıa
e
ıa
o
de resultados, aunque todav´ estaba por llegar unimportante crecimiento durante los a˜os treinta
ıa
n
y posteriores, gracias a los trabajos de Aleksandrov, Hadwiger, Schneider y otros muchos.

2.1.

La suma de Minkowski. Conjuntos paralelos.
Sumario. Suma de Minkowski. El conjunto paralelo exterior.

o
o es
un estudio
a
suma
El prop´sito dedeesta secci´n quellevar aucabo forma ya nossistem´tico deenlacap´ıtulosvectorial de
conjuntos osuma Minkowski,
de una otra
ha aparecido
anteriores.
Definici´n 2.1. La suma de Minkowski de dos conjuntos cualesquiera A y B de Rn se define como
o
A + B = a + b : a ∈ A, b ∈ B =

(A + b).
b∈B

Proposici´n 2.2.
o

(i) La suma de Minkowski conserva la convexidad y la compacidad.

(ii) Vista como una aplicaci´n de C n × C n −→ C n , la suma de Minkowski es continua.
o
(iii) C n y...
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