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1. SISTEMAS LINEALES DETERMINISTICOS
MULTIVARIABLES, INVARIANTES Y CONTINUOS.
1.1

INTRODUCCIÓN

1.1.1 Sistemas lineales y no lineales
Muchos sistemas se pueden describir por un conjunto
deecuaciones diferenciales simultáneas de la forma:

•

x(t) = f [x(t), u(t), t ]

(1.1)

Donde
x(t) : vector de estado del sistema
u(t) : vector de entrada o control
f(.) : función real yvector valuada
(1.1)

se denomina ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ESTADO.

y(t) = g[x(t), u(t), t ]
y(t) : vector de salida del sistema
(1.2) se denomina ECUACION DE SALIDA DEL SISTEMA

Si f y g sonfunciones lineales, entonces:

(1.2)

•

x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

(1.3)

Donde
x(t) : vector de estado del sistema
u(t) : vector de entrada o control

y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)(1.4)

y(t) : vector de salida del sistema
A(t), B(t), C(t) y D(t) : matrices variantes en el tiempo

Si las matrices A, B, C y D son constantes, el sistema es invariante en el
tiempo

1.1.2Linealización
Supongamos:
•

x o (t) = f [x o (t), u o (t), t ]

to ≤ t ≤ t1

(1.5)

Donde xo(t) es una trayectoria nominal
uo(t) es una entrada nominal
Suponiendo que el sistema estáoperando cercano a condiciones nominales. Por
lo tanto, podemos escribir:
~

u(t) = u o (t) + u(t)

t o ≤ t ≤ t1

(1.6)

~

x(t o ) = x o (t o ) + x(t o )
~

x(t) = x o (t) + x(t)
~

~(1.7)
~

donde u(t), x(t o ) y x(t) son perturbaciones pequeñas.

Realizando una expansión en serie de Taylor, se tiene que:
~
~
d
(x o (t) + x(t)) = f [x o (t), u o (t), t ] + J x [x o(t), u o (t), t ] x(t)
dt

+ J u [x o (t), u o (t), t ]u(t) + h(t)
~

t o ≤ t ≤ t1

(1.8)

Donde : J x y J u son las matrices Jacobianas de f
con respecto a x y u.

Despreciando h(t) seobtiene:
~
~
d ~
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
dt

donde

t o ≤ t ≤ t1

(1.10)

A(t) = J x [x o (t), u o (t), t ]

B(t) = J u [x o (t), u o (t), t ]

La ecuación (1.10) se denomina:...