compensador

El compensador de adelanto
Principio de funcionamiento
El compensador de adelanto de primer orden tiene una función de
transferencia dada por

K ( s) = K C

( s − zO )
( s − pO )

(30)

donde la magnitud de pO es mayor que la de zO. El compensador de adelanto
deforma el lugar de las raíces desplazándolo hacia la izquierda. Esto lo hace al
mover la posición del centroide hacia laizquierda.
q

n

C=

∑ p −∑z
i =1

i

i =1

(31)

i

n−q

Como al agregar un polo y un cero simultáneamente el exceso de polos se
mantiene constante; entonces el centroide se desplazará en una cantidad

p0 − z 0
n−q

(32)

que por ser la magnitud de p0 mayor que la de z0 será un valor negativo;
produciendo un desplazamiento del centroide hacia la izquierda. Por lo tantolas
asíntotas también se desplazarán y todo el lugar de las raíces con ellas. Esto mejora
la estabilidad y la velocidad de respuesta.
Ejemplo 1:
Sea el sistema con función de transferencia de lazo abierto
G ( s) =

1
s( s + 2 )
^

• Graficamos el lugar de las raíces de G ( s) como: 1 + K G ( s)
el cual puede observarse en la figura 30.
Diseño de reguladores de un sólo lazo
Ing.Eduardo Interiano

pág. 25

Figura 30: Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden del ejemplo 1
• luego agregamos un compensador de adelanto K ( s) para ver el efecto sobre el
lugar de las raíces.

K ( s) = K C

( s + 4)
( s + 10)
^

^

• y graficamos el nuevo lugar de las raíces de K ( s)G ( s) como 1 + K K ( s) G ( s) ;
donde
K = KC KO

(33)

y K O es la ganancia de lazoabierto.
Puede verse claramente en la figura 31 como el lugar de las raíces se desplaza
hacia la izquierda. Con esto es posible hacer pasar el lugar de las raíces por una
región de nuestro interés y lograr así ciertas características dinámicas deseadas para
el sistema de lazo cerrado.
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pág. 26

Im

Re
Figura 31: Lugar delas raíces de un sistema de segundo orden después de agregar
un compensador de adelanto
Ejemplo 2:
Sea el sistema con función de transferencia de lazo abierto
G ( s) =

1
s ( s + 2)
2

• Se grafica el lugar de las raíces para G ( s)
Como puede verse en la figura 32, el sistema de lazo cerrado es inestable para
cualquier valor de la ganancia K. Esto es debido al doble integrador ( polodoble en
s = 0 ).

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pág. 27

Im

Re
Figura 32: Lugar de las raíces de un sistema de segundo orden del ejemplo 2
• Para compensar el sistema se le agrega un compensador de adelanto con la
función de transferencia

K ( s) = K C

( s + 0.5)
( s + 10)

• Graficamos el nuevo lugar de las raíces para el sistema concompensado
En la figura 33 puede verse el nuevo lugar de las raíces, el cual se desplazó
hacia la izquierda por efecto del compensador de adelanto.
Es claro, que ahora si existe un intervalo de valores de ganancia en las cuales
el sistema es estable. Además pueden satisfacerse los criterios dinámicos
escogiendo adecuadamente un valor para la ganancia K.

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pág. 28

Im

Re
Figura 33: Lugar de las raíces del sistema del ejemplo 2 después de agregar un
compensador de adelanto
Ejemplo 3: Compensar un sistema estable en lazo abierto
Dada la función de transferencia de la planta
G ( s) =

^
1
= K O G ( s) ;
s( s + 2 )

con K O = 1

y las exigencias de diseño
≤ 1.5 s
t5%
M% ≤ 16 %
realizar el diseño delcompensador.
• Graficamos el lugar de las raíces para la planta G ( s)
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pág. 29

• Trasladamos las exigencias en el dominio del tiempo a valores de ξ y ωn con las
ecuaciones (24) (27) y (29) repetidas aquí por conveniencia.

M =e

 ξπ
−
 1− ξ 2







ξ = cos(θ )
t 5% =

(24)
(27)

3

(29)

ωnξ

•...