compensadores

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I. A BSTRACT.
In this paper presents some diferent methods of phaselead and phase-lag compensators, because this method is
one of the most common methods used to design control
systems, in most cases the trial-error method is used for
a easy implementation, but it takes much more time and
its innacurate.
II. SOLUCIÓN ÚNICA Y EXACTA PARA LA
COMPENSACIÓN EN ADELANTO Y ATRASO DE
FASE.A pesar de los avances del control moderno, aun se sigue
basando el diseño de sistemas de control con técnicas clásicas
como lo son los compensadores de adelanto y de atraso y los
comunes PID, que se usan bastante en procesos industriales
debido a su fácil implementación además que son métodos
de diseño que son basados en prueba y error para determinar
las constantes para la planta.
En1976 W.R. Wakeland descubrió una solución analítica al
diseño de compensadores de adelanto y atraso. su solución is
de la forma de los términos cuadráticos de la ganancia del
compensador.
Teniendo un compensador simple mostrado a continuación:
1 + ατ s
1 + τs
donde α < 1 y corresponde a un compensador de atraso, y
α > 1 que corresponde a un compensador de adelanto.
Gc (s) =

Dado M (endB) y p (en radianes) que son las deseadas
ganancias en magnitud y fase, que contribuyen a Gc , en una
frecuencia pasante dada (o en cualquier frecuencia dada) ωc .
Entonces
| G(jωc ) |= 10M/20 ≡ c,

∠Gc (jωc ) = p

1 + (ατ ωc )2
= c2 , tan−1 (ατ ωc ) − tan−1 (τ ωc ) = p
1 + (τ ωc )2
Claramente, −π/2
p
π/2 puede ser asumido acá.
Introduciendo una nueva variable y parámetro.
σ = ατ ωc,

δ = tan(p)

Teniendo en cuenta la siguiente propiedad:
tan(x) − tan(y)
tan(x − y) =
1 + tan(x)tan(y)

Las siguientes 2 ecuaciones son halladas en términos de α
yσ
1 + σ2
1+

σ 2
α

= c2 ,

σ
σ−δ
=
.
α
1 + δσ

La anterior ecuación es obtenida tomando la tangente de los
σ
dos lados de la ecuación eliminando α , de la primera ecuación
usando la segunda ecuación,obteniendo una ecuación expresada en términos de una variable sin conocer σ:
(1 + σ 2 )(1 + δσ)2 = c2 (1 + δσ)2 + (σ − δ)2 .
Esta ecuación puede ser simplificada de la siguiente manera:
(1 + σ 2 ) (1 + δσ)2 − c2 (σ + δ)2 =0
Inicialmente α, τ, y ωc son todos reales y positivos (lo cual
es requerido pro los compensadores de adelanto y atraso),
σes siempre real y positivo, sin embargo, los únicospositivos
válidos para la solución son:
√
±c 1 + δ 2 − 1
σ=
δ
La anterior ecuación presenta dos posibles soluciones
para σ(con signo + y - respectivamente). Ahora uno puede
probar que este es la única posible solución solo el signo
+ es permitida en la anterior ecuación. De las condiciones
iniciales de un compensador simple se puede tener que se
debe satisfacer las siguientes condiciones.A. Compensación de adelanto.
Teniendo:
1 < c2 = α2 −

α2 − 1
π
< α2 , 0 < p <
1 + (τ ωc )2
2

Teniendo en cuenta:
α > c > 1, δ > 0
B. compensación en atraso.
1 > c2 = α2 +

π
1 − α2
> α2 , − < p < 0
1 + (τ ωc )2
2

De esto se obtiene que:
√
√
c(c 1 + δ 2 − 1)
c − 1 + δ2
√
α=
, τ=
cδωc
c − 1 + δ2

(1)

2

Que presenta la única posible solución a la compensaciónen fase.

α = α, τ = ατ, p = δ, c = c2 .

Teorema de compensación en atraso de fase:
a) Un estado simple de compensación en adelanto solo
puede existir si y solo si:
1 + δ 2 < c y δ > 0.
b) Un estado simple de compensación en atraso existe si y
solo si:
1
y δ < 0.
c
En ambos casos, la solución a la compensación es única.
1 + δ2 <

Claramente para cualquierc > 0 y δ = 0, uno tiene:( 1 + δ 2 − 1)c > 0 > (1 −

1 + δ 2 ).

Y puede ser escrita como:
√
(c + 1)( 1 + δ 2 − 1)
√
α=c 1+
.
c − 1 + δ2
1) RELACIÓN A LA SOLUCIÓN DE WAKELAND.
En 1976 Wakeland resolvió el problema de la compensación
por redes de la siguiente forma:
Gc (s) =

1+τ s
.
1+ τ s
α

Figure 1.

Para obtener una ganancia (dB) y una contribución en fase
(Φ)en la frecuencia (ω = ωc ), la...