compensadores

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM

Compensación utilizando
Métodos de respuesta en
frecuencia

México D.F. a 6 de Noviembre de 2006

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

1.- Compensación en adelanto

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1. Compensación en adelanto
Se utiliza elcompensador en adelanto siguiente

Gc ( s )  K c

s

1

s  1

 Kc
1
s  1
s


0  1

donde  es el factor de atenuación y K c es la ganancia del
compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es

j  1
Gc ( j )  K c
j  1

m
1
(1   )
2

0



1
(1   )
2

m

1

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuenciaEl ángulo de fase máximo se observa por la recta tangente a la gráfica
polar y que pasa por el origen. Este ángulo máximo dependerá del
valor de  , aumentando si  disminuye. La relación  -ángulo
máximo es

1
sen  m 
1

El diagrama de Bode del compensador, para   1,   0.1 es
dB 10
0
 10
 20

90º
0º
0.1

1

10

10

100  

Compensación utilizando métodosde respuesta en frecuencia
De la gráfica de Bode se observa que el ángulo máximo del
compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero

1
1
1 
log m   log  log 
2 
 

m 

Técnicas de compensación en adelanto
1. Suponga el compensador en adelanto

s  1
Gc s   K c
s  1

defina K  K c
El compensador y la planta en lazo abierto quedan

s  1Gc s G s  
KG s 
s  1

1



Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante
estática de error propuesta
2.- Dibuje el diagrama de Bode KG(s ) , que es el sistema con la
ganancia ajustada sin compensar.
3.- Determine el ángulo de fase que se necesita agregar al sistema. A
ese valor, agréguele de 5ºa 12º más (por el desplazamiento de la
magnitud).
4.- Con el ángulo deseado, determine el factor de atenuación

1
sen  m 
1
después determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no
compensado sea

 1 
 20 log




Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Utilizando esta frecuenciala ecuación

m 
se obtiene el valor del cero 1



5.- Con K

1


y del polo

1



y  , calcule la constante del compensador

Kc 

K



6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en adelanto
Ejemplo: Diseñe un compensador en adelanto que haga que el error
en estadoestable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante
de error estático de velocidad K v sea de 20 seg 1 . Al mismo tiempo, el
margen de fase sea mayor a 45°. En el siguiente sistema:

7.5
G(s) 
s( s  3)
Solución:
1) Se supone un compensador en adelanto de la forma

j  1
Gc ( s)  K c
j  1

nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la
aportación deganancia del compensador ( K c ) .
se define

K  K c

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Se encuentra la ganancia K que junto con el sistema cumplan con la
constante de error estático de velocidad.

s  1
s7.5K
KG ( s)  lim
 2.5K  20
s 0 s  1
s 0 s ( s  3)

K v  lim sGc ( s)G ( s)  lim
s 0

K 8
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistemaa compensar con la
ganancia K

60
s( s  3)
20
KG ( j ) 
1
j ( j   1)
3
KG ( s ) 

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

Diagrama de Bode

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el
adelanto de fase que se requiere agregar:

M f  21.9

M f deseado  45

m ...