Compilado Ce1 MAT022

Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

PAUTA PRIMER CERTAMEN MAT-022
Sabado 27 de Agosto de 2005

INSTRUCCIONES GENERALES
- En cada hoja de respuesta a utilizar escriba claramente su nombre, rol y nombre del profesor de su curso.
- Dispone de 120 minutos.
- Responda cada pregunta en hoja separada.
- NO se atienden consultas sobre desarrollo del certamen.
-Justifique claramente cada uno de sus resultados.
- No puede utilizar su calculadora.

2

I.

|x(x + 5)| dx.

a) Determine el valor exacto de la integral
−1

Respuesta:
2

0

|x(x + 5)| dx = −1

2

x(x + 5) dx +
−1

= −[

x(x + 5) dx
0

x3
5x2 0
x3
5x2 2
1 5 8
89
.
+
]|−1 + [ +
]| = − + + + 10 =
3
2
3
2 0
3 2 3
6

12 ptos.
x3

1 + t3 dt, encuentre ϕ (1)

b) Si ϕ(x) =
0

Respuesta:
x3

Si ϕ(x) =

√
1 + t3dt, entonces ϕ (x) = 3x2 1 + x9

0
√
Luego ϕ (1) = 3 2.

12 ptos.
4

c) Sea f : [2, 4] −→ R funci´
on integrable. Sabiendo que

f (t) dt = 24, calcule el valor de
2

la integral
5
1

√
f ( 3t + 1)
√
dt.
3t + 1

Respuesta:
Sea u =

√

3t + 1, luego du =

√3
dt
2 3t+1

Si t = 1 entonces
√ u = 2, si t = 45 se tiene que u = 4.
5
f ( 3t + 1)
√
Luego
dt = 23
f (u) du = 23 · 24 = 16.
3t + 1
1
2
12ptos.
1

2

ln(x + 1)
dx.
x2

d) Utilizando t´ecnicas de integraci´
on elementales, encuentre
Respuesta:
Sea u = ln(x + 1),
Sea dv =

1
x2 dx,

luego
luego

du =

1
x+1 dx

v = − x1

entonces

ln(x + 1)
ln(x + 1)
dx = −
+
x2
x

−

ln(x + 1)
+
x

1
dx =
x(x + 1)

1
1
ln(x + 1)
−
dx = −
+ ln |x| − ln(x + 1) + C, Ccte.
x x+1
x
12 ptos.
1

2

e−x dx mediante rect´angulos de

e) Estime por exceso, el valorde la integral
0

base 12 .
Respuesta:
2

Si f (x) = e−x ,

1

2

e−x dx es:

x ∈ [0, 1] entonces una aproximaci´on por exceso para la integral
0

1
1 1
1 1 1
f (0) + f ( ) = + e− 4 .
2
2 2
2 2
12 ptos.
II) Encuentre una antiderivada para la funci´on definida por
f (x) =

ex + 1
6x

−1 ≤ x < 0
0≤x≤2

Respuesta:
La funci´
on f (x) es integrable en [−1, 2], y F (x) la integral indefinida (colecci´on de todas las
antiderivadas ´
o funci´
on primitiva, o simplemente primitiva ) de f (x) en [−1, 2], es una funci´on
continua en el intervalo [−1, 2] cuya derivada es igual a f (x) en todos los puntos de continuidad
de la funci´
on f (x).
Una antiderivada de f (x) en [−1, 2] es de la forma
F(x)=

ex + x + c1
3x2 + c2

−1 ≤ x < 0
0≤x≤2

donde c1 , c2 constantes a determinar de modo que F (x) seacontinua en [−1, 2] y su derivada igual a
f (x) en todos los puntos de continuidad de la funci´on f (x).
Entonces
l´ım F (x) = l´ım− F (x) = F (0)

x→0+

x→0

obteniendo 1 + c1 = c2 , luego la integral indefinida de f (x) en [−1, 2] es dada por
F(x)=

ex + x + c1
3x2 + c1 + 1

−1 ≤ x < 0
0≤x≤2

3

En particular tomando c1 = 0, tenemos una antiderivada de f (x) en [−1, 2]
F(x)=

ex + x
3x2 + 1

−1 ≤x < 0
0≤x≤2
10 ptos.

III) Sea R la regi´
on encerrada por las tres curvas siguientes: y = x2 , y =
Exprese las integrales que permiten calcular
i) El ´
area de la region R.
ii) El volumen del solido de revolucio´
n que se genera al
rotar la region R en torno al eje x.
Respuestas:
2

4

x2 dx +

A=
1

4

(−x + 6) dx −
2

x dx

4

x4 dx + π
1

√

x , y = −x + 6, x > 0.

1

2

V =π

√

4

(−x + 6)2dx − π
2

x dx
1

30 ptos.

1 de septiembre de 2005

Pauta Certamen I. MAT-022
Coordinaci´on
Martes 29 de Agosto de 2006.

1.
1.

2.

Fila A

Sea f (x) =


 2x + 4


3.

x2 + 3
.
1 + x2

Encuentre la antiderivada de f (x) =

x3

si

0≤x<2

si

2≤x≤8

. Encuentre una antiderivada de f (x).

En una pieza de equipo de prueba la presi´
on p viene dada en t´erminos del radio r de un tubo por:
p =25k(15 − r2 )3/2

donde k es una constante.

a)

Encuentre el cambio porcentual aproximado en p en funci´on de un cambio en r.

b)

Estime el cambio porcentual en p cuando r = 2 y el radio cambia a r = 1,95.
∞

4.

Dada la siguiente serie

5.

Dada la siguiente serie

n · 2n · n!
analizar su convergencia. Justifique sus argumentos.
3n (n + 1)!
n=1
∞

n=0

2n

1
analizar su convergencia....