Compilado

Electricidad y
Magnetismo
Compilado de problemas resueltos

´n Urrutia Quiroga
Sebastia
sgurruti@uc.cl
web.ing.puc.cl/~ sgurruti/

Segunda Edici´on – Febrero de 2015

´Indice
1. Electrost´
atica

2

1.1. Integrales de Coulomb: fuerza y campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Ley de Gauss para el campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

10

1.3. Potencial el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Energ´ıa potencial electrost´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.5. Conductores y capacitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2. Electricidad en medios materiales

50

2.1. Ecuaciones de Laplace yPoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2. Diel´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.3. Corriente el´ectrica y ley de Ohm microsc´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.4. Ley de Ohm macrosc´opica: circuitos fem/R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.5.Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3. Magnetost´
atica

93

3.1. Fuerza de Lorentz y torque sobre una espira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.2. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Ley de Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115
4. Campos variables en el tiempo

124

4.1. Ley de inducci´on de Faraday-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2. Inductancia. Circuitos RL, LC y RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3. Corriente Alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5. Ecuaciones de Maxwell151

5.1. Introducci´on a la teor´ıa electromagn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

–1–

1.

Electrost´
atica

1.1.

Integrales de Coulomb: fuerza y campo el´
ectrico

(1) Considere la distribuci´on de cargas puntuales de la figura:
P

r

−q

−q

+2q
d

d

a) Calcule el campo el´ectrico en P
b) Evalu´e el caso l´ımite r ≫ d, ¿c´omo var´ıa la magnitud del campoel´ectrico con la distancia en
este caso?
Soluci´
on:
a) El campo el´ectrico en P puede ser obtenido utilizando el Principio de Superposici´on. El campo
el´ectrico producido por +2q es simplemente:
E1 =

1 2q
ˆ
4πǫ0 r 2

Si hacemos r = r ˆ y R = −d ˆ
ı, entonces el campo producido por la carga de la derecha es:
E2 = −

q
r−R
4πǫ0 r − R

3

=−

q
r ˆ + d ˆ
ı
4πǫ0 (r 2 + d2 )3/2

De manera an´aloga, porsimetr´ıa, el campo producido por la carga de la izquierda es:
E3 = −

q
r ˆ − d ˆ
ı
2
2
4πǫ0 (r + d )3/2

As´ı, el campo total EP viene dado por:
3

EP =

Ej =
j=1

1 2q
1
2qr ˆ
q
ˆ −
=
2
2
2
3/2
4πǫ0 r
4πǫ0 (r + d )
2πǫ0

–2–

1
r
− 2
2
r
(r + d2 )3/2

ˆ

b) Para analizar el l´ımite r ≫ d, reescribimos el campo de la siguiente manera:


2 −3/2
d


1+


r
q 1

EP =
 2−
 ˆ
2

2πǫ0 r
r


Ahora, utilizando la expansi´on de Taylor a primer orden
n

1+ε

≈ 1 + nε ,

ε≪1

se tiene que:
d
r

1+
Entonces,
EP ≈

q
2πǫ0

2

−3/2

≈1−

1
1
3 d2
−
+
r 2 r 2 2r 2 r 2

y por tanto:
EP

3 d2
2 r2

(r≫d)

=

ˆ

3qd2
ˆ
4πǫ0 r 4

Notar que, para grandes distancias (r ≫ d), esta distribuci´on de carga genera un campo que
1
1
decae como 4 , lo que contrasta con el campo de una cargapuntual que decae seg´
un 2 .
r
r

(2) Dos peque˜
nas esferas conductoras, de igual masa m y carga q, cuelgan por dos hilos no conductores
sin masa y de largo ℓ. Cada esfera forma un ´angulo θ con el eje vertical, como se muestra en la
figura.

ℓ

θ θ

+

ℓ

+

r
a) Calcule el valor de la carga q para el equilibrio est´atico del problema.
–3–

b) Suponiendo que las esferas pierden carga a raz´on...