Complejos polar

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR
DIFERENTS FORMES D’ESCRIURE UN NOMBRE COMPLEX

Sigui z un nombre complex
 z  a  bi és la forma binòmica de z on a i b 
a s’anomena la part real del nombre
b s’anomena la part imaginària del nombre
i2 1



i

1

Nota: si a  0 el nombre és imaginari pur
si b  0 el nombre és real
 z  r és la forma polar de z amb r  0 i 0º   360º
r s’anomena el mòdul del nombre

 s’anomena l’argument del nombre

Pas de forma binòmica a polar :

r  a2  b2
b
  arctg  
a
Representació del nombre complex:

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt

Pàgina 1

Nota: No té sentit posar el nombre complex 0 en forma polar
 z  r(cos   isin )

és la forma trigonomètrica de z

r i  són el mòdul iargument de z

Pas de forma polar a binòmica :

a  r cos 
b  r sin 
EXEMPLES :

 Troba la forma polar i la representació dels nombres complexos :
z1  1  i

a  1 
2
2

 a b 2r  2
b  1
1
  arctg    arctg 1  45º    45º
1

z1 està en el primer quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen tg  1
que són 45º i 225º)

z2  3  2ia  3
2
2

  a  b  13  r  13
b 2 
 2 
  arctg 
  arctg 0, 6  146, 31º    146,31º
 3 

z2 està en el segon quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen tg  

2
3

que són 146,31o i 326,31o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt

Pàgina 2

z3  8  6i

 a 8 
2
2

  a  b  100  r  100  10
b  6
6 
 3
  arctg 
  arctg     323,13º    323, 13º
 8 
 4

z3 està en el quart quadrant ( observa que hi
ha dos angles que compleixen tg  

3
4

que són 143,13o i 323,13o )

z 4  4

a  4 
2
2

  a  b  16  r  16  4
b 0 
 0 
  arctg 
  arctg 0  180º    180º
 4 

Z4 està damunt l’eix d’abscisses en la part
negativa ( observaque hi ha dos angles que
compleixen tg  0 que són 0 o i 180o )

z5  2i

a  0 
2
2

 a b  4 r  4 2
b  2 
2
2
  arctg   però     90º
0
0

Z5 està damunt l’eix d’ordenades en la part
positiva ( observa que hi ha dos angles que
no tenen tangent que són 90 o i 270o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt

Pàgina 3

z 6  3  4ia  3 
2
2

  a  b  25  r  5
b  4 
 4 
4
  arctg 
  arctg    233,13º    233,13º
 3 
3

Z6 està en el tercer quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen tg 

4
3

que són 233,13o i 53,13o )

z 7  i

a  0 
2
2

 a b 1 r 1
b  1
 1 
1
  arctg   però 
   270º
0
0
 

Z7 està damuntl’eix d’ordenades en la part
negativa ( observa que hi ha dos angles que
no tenen tangent que són 90 o i 270o )

z8  0

 No hi ha forma polar

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt

Pàgina 4

z 9   2  7i


2
2
a   2 

2
2


a

b


2


7
27  9 r 3


b   7 

 7
  arctg 
  241, 87 º    241, 87º
 2



 



Z9 està en el tercer quadrant ( observa que hi
ha dos angles que compleixen tg 

7
2

que són 61,87o i 241,87o )

 Escriu en forma binòmica els nombres
z1  360 , z2  4210 , z3  5180 , z4  4270 , z5  1315 , z6  2185
1
2


z1  360  3·(cos 60º i sin 60º )  3· 
0

3  3 3 3
i 
i
2  2
2





z2  4210  4·(cos210º i sin 210º ) 4·(  cos30º i sin 30º )  4· 
0



3 1 
 i
2 2 

4 3 4
 i  2 3  2i
2
2

z3  5180  5·(cos 180º i sin 180º )  4·(1  i ·0)  4
0

z 4  2270  2·(cos 270º i sin 270º )  2·(0  i ·(1))  2i
0

ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt

Pàgina 5

z5  1315  1·(cos315º i sin 315º )  1·(cos 45º i ·(  sin 45º )) 
0


2...