Complejos y Polinomios

GUIA DE EJERCICIOS
ÁLGEBRA
Complejos y Polinomios

1. Dados los números complejos z1 =

1
4

+ 2 i, z2 =
3

1
8

+ 1 i, calcule:
6

a) z1 + z2
b) z1 − z2
c) z1 : z2
d) z1 − z2
¯¯
e) |z1 + z2 |
f) (z1 + z2 )(3z1 − z2 )

2. Determine la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:
1
2+i
3 + 2i
=
3 − 2i
= (1 + i)4
8
=
(1 − i)5
1−i
1+i+
=
2 + 3 i 2 − 3i

a) z =
b) z
c) z
d) z
e) z

3. Determine los números reales x e y tales que:
a) (1 + i)(x + 2y ) − (3 − 2i)(x − y ) = 8 + 3i
1
2
+
=1+i
b)
x + yi x − yi
4.Calcule el módulo de los siguientes números complejos:
1 + 2i
1 − 2i
(1 + 3i)8 (2 − i)7
b) ω =
(3i + 1)7 (2 + i)6
a) z =

c) z = (1 + i)15

d) ω =

a + bi
a − bi

5. Calcule el módulo y elargumento de:
1+i
1−i
√
2
b) ω =
1−i
a) z =

√
1+ 2+i
3π
6. Demuestre que el argumento de
es
.
1−i
8

7. Escriba en forma polar el número complejo

8. Calcule:
√
b) 1 − i
√
c) i√
d) 4 1 + i
√
2+1+i
e) √
2+1−i

i7 − i−6
√
i2

1
4

9. Determine las soluciones complejas de :
a) z 2 − 24i + 7 = 0
b) z 4 − i2 = 0
c) z 4 − i = 0
12
d) + = 1 + i
z
z
e) |z |+ z = 2 + i
f) z 2 = z
¯
g) z 6 + 7z 3 − 8 = 0
1
h) |z | = | | = |1 − z |
z
10. Usando la forma polar de un número complejo, demuestre las identidades:
3
1
sin θ − sin 3θ
4
4
1
1
3
4(b) cos θ = cos θ + cos 2θ +
8
2
8
(a) sin3 θ =

11. Demuestre que
(3 + 2i)n + (3 − 2i)n
(5 − 4i)n + (5 + 4i)n
representa un número real, para todo n ∈ N
12. Demuestre que si ad − bc = 0,entonces

a + bi
es un número real.
c + di

13. Demuestre que, para todo z ∈ C − {0}, si z +

14. Demuestre que si z +

1
es un número real, entonces Im(z ) = 0 o bien |z | = 1.
z

1
1= 2 cos(θ), entonces z n + n = 2 cos(nθ).
z
z

15. Demuestre que para todo z ∈ C, si |z | = 1, entonces (z − 1)(¯ + 1) es un número imaginario puro.
z
16. Demuestre que la suma de las n raíces...