Complejos

Número complejo
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Tabla de contenidos

•1 Definición
• 2 Representación Binomial
• 3 Plano de los números complejos
• 4 Valor absoluto, conjugado y distancia
o 4.1 Valor absoluto
o 4.2 Conjugado
• 5 Representación polar y geometría
o 5.1 Geometría y operaciones con complejos
• 6 Soluciones de ecuaciones polinómicas
• 7 Análisis complejo
• 8 Un poco de historia
• 9Aplicaciones
• 10 Representaciones alternativas de los números complejos
• 11 Enlaces externos
• 12 Véase también

Definición

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que [pic]. Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que loscomplejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.Representación Binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a + ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
a = Re(z)
b = Im(z)

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de losnúmeros complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd,bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenadoscomo, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Valor absoluto, conjugado y distancia

Valor absoluto

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
[pic]
Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número...