Complejos

Número complejo

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario

Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re (z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
* Suma

* Producto por escalar

* Multiplicación

* Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otrascomo las siguientes:
* Resta

* División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0.
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C. Si identificamos el número reala con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:
SeanI)
II)
III)

Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica
Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menosconveniente que otra representación, usando coordenadas polares.
Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.
Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado | z | .
Esta distancia forma, con respecto al ejereal positivo, un ángulo, denominado .

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo :

donde k pertenece a ,

  EJERCICIOS RESUELTOS DE NUMEROS COMPLEJOS.-
1Determine analítica y gráficamente los complejos z = (x,y), que verifican las siguientes relaciones:   a) Re(z) = -2.   b)   |
..
SOLUCIÓN |
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a)  Si z = (x,y), como x =Re(z) = -2, se sigue, entonces, que z es un par ordenado que tiene la forma z = (-2,y). Geométricamente, representa una línea recta paralela al eje y, que pasa por el punto de la abscisa -2 (Fig. 3.a).  b) Si z = (x,y), como y = ,entonces, los valores de z, que verifican, son todos aquellos números complejos cuya ordenada y verifica : -2y < 3; o equivalentemente: y   -2 y y <3.La conjunción deestas desigualdades representa gráficamente la franja del plano cartesiano comprendida entre las rectas y = -2 e y = 3. (Fig. 3.b). Note que la recta y = 3 se ha trazado en forma punteada para indicar, con esto, que los puntos sobre la recta no pertenecen a la solución.  |
 
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2 Simplifique totalmente la expresión :  |
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SOLUCIÓN |
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=   =.   Como 30 = 4× 7 + 2 y 31 = 4× 7 +3 ,entonces: ;   Por lo tanto,  |
 
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3. Encuentre los valores de x e y para los cuales se verifica la siguiente igualdad :   x + y +1 + (x - y + 3 )i = 1 + 7i . |
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SOLUCIÓN  |
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Sean  y .   Recordando que dos complejos son iguales si y sólo si sus correspondientes partes reales e imaginarias son iguales, se tiene, entonces :   x + y +1= 1 y x - y + 3 = 7. Resolviendosimultáneamente el sistema anterior, se obtiene : 
x = 2 e y = -2.  |
 
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4. Efectúe las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes literales, expresando el  
     resultado en la forma (a + bi). 
  a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i].   b) .   |
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SOLUCIÓN  |
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a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i] = 2m + 5 +i +2 +3mi -2i  = (2m +7 ) +(-1 +3m ).i  b) En primer lugar,  ...