Complejos

TEMA 1
El conjunto de los números complejos:
ℂ= {a , b∈ℝ2 / z =ab⋅i , ℜ z =a , ℑ  z =b } a , bc , d =ac ,bd  a , b⋅ c , d =a⋅c−b⋅d , a⋅d b⋅c 

TEMA 2
Conceptos deTopología:
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TEMA 3
Funciones Elementales:
Función exponencial:

Bola Abierta:

B a ,0={z ∈ℂ/∣z −a∣}
Punto de Acumulación: ∀ a∈ℂ/a∈ A a es punto de acumulación si
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B a ,∩A≠{a , ∅}Propiedades:
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Es derivable y su derivada es ella misma. Se verifica: exp  z 1z 2=exp  z1⋅exp  z2 Corolario: a) exp  z ≠0

exp  z =e x⋅cos  y isen y 

Asociativa dela suma y el producto. Conmutativa de la suma y el producto. Elemento neutro de la suma y el producto. Elemento simétrico de la suma y el producto. Distributiva.

Límites:
lim f  z = f a⇒ f z continua en a
za

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Continuidad:

1 z exp c) exp z n=exp nz 
b)

exp −z =

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Propiedades: dado lim f  z =L z a
za za

∀ z 1, z 2 ∈ℂ , e =e ⇔ z 1=z 2 2k i conk ∈ℤ
Por tanto la exponencial compleja no es inyectiva pero sí periódica.

z1

z2

Formas
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Módulo y Argumento:

lim ℜ f  z =ℜ L lim ℑ f  z =ℑ L

{
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∣z∣== x 2 y 2 xz  ==arctan   y

}

Logaritmo complejo: Derivadas:
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f es derivable si:

Argumento sub-alfa:

∃lim
z a

arg   z =2k ∈− ,  , k ∈ℤ ,

f  z − f a  df a = z−a dzRegla de la cadena:

Representación Gráfica:

 g ° f '  z =g '  f  z ⋅ f '  z 
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∈ℂ , soluciones de exp  z = . i Si = e ≠0 ⇒ z=ln ∣∣i2k  , k ∈ ℤ Si arg ∈−,⇒ logaritmo principal. log   z =ln ∣z∣i⋅arg  
Dado

Cauchí-Rienman:

dado f : A ℝ 2 z  x , y  f  z  f  z =u  x , y i⋅v  x , y 

{

∂u ∂u , u y= ∂x ∂ y  u x =v y ∂v uy =−v x v x= , v y =∂ v ∂x u x=

}{

}

f  z =u x i⋅v x =u y −i⋅v y
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Analítica: Cumple los criterios de Cauchí-Rienman

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Entera: Analítica en C

f : A ℂ ∃ f '  a∀ a∈ A...