complejos

Departamento de matem´ticas
a
Anexo 1: Ejercicios N´ meros Complejos
u
Coordinaci´n de Ecuaciones Diferenciales
o
2012-1

1. Evaluar las siguientes expresiones con n´meros comu
plejos yexpresar el resultado en la forma a + bi.

e) A = {z/ 1 ≤ z ≤ 5}
f ) A = {z/ z + 2 < 2}
g) A = {z/ z − 1 + z + 2 = 8}

a) (2 + 5i) + (−3 + 2i)
b) (−3 − 4i) − (7 − 5i)
c) (4 − 2i)(−3 + 8i)
4 + 3id)
7 − 2i
(1 + 2i)(3 − i)
e)
2+i
3 − 4i
4+i
f)
+
3 − 5i 3 + 5i
√
2 + −8
√
g)
1 + −2
√
√
3 − −27 2 + −12
√
√
−
h)
2 + −3
2 − −3
i ) (2 + i)3
j ) (3 − i)4

7. Expresar cadan´mero complejo en su forma polar
u
con argumento 0 ≤ θ < 2π.
√
√
d ) 4( 3 + i)
a) 2 3 − 2i
b) 5 + 5i
c) 3i(1 + i)
e) 2 + i
8. Encontrar el producto z1 z2 y el cociente
sar la respuesta enforma polar.

z1
y exprez2

a) z1 = cos (π) + i sen (π)
z2 = cos π + i sen π
3
3
b) z1 = 3 cos
z2 = 5 cos
c) z1
z2
d ) z1
z2
e) z1
f ) z1
g) z1

2. Calcular i3 , i4 , i5 , i6 , i7 ,i8 y i9 , a partir del comportamiento observado deducir una f´rmula para calcuo
lar in , n ∈ N, y utilizarla para calcular i77 .
3. Graficar el n´mero complejo z y encontrar su m´duu
o
lo.

π
64π
3
9π
8
π
8

+ i sen
+ i sen

π
6
4π
3
9π
8
π
8

= 7 cos
+ i sen
+ i sen
= 2 cos
= 4 (cos (200◦ ) + i sen (200◦ ))
= 25 (cos (150◦ ) + i sen (150◦ ))
√
√
z2 = 1 − i
= 2 −i 2,
= 5 + 5i,
z2 = 4
√
z2 = 8i
= 4 3 − 4i,

3 + 4i
5
√
√
√
3
− 2+i 2
i
d) z =
b) z = −1 −
3
2
4. Para cada n´mero z del punto anterior encontrar
u
−z, 1 z, z y graficarlos.
29. Resolver las siguientes ecuaciones, en los complejos.
√
a) z 4 + 1 = 0
c) z 3 − 4 3 − 4i = 0

5. Si z = a + bi es un n´mero complejo, a es conocida
u
como la parte real de z y se denota porRe z y b es la
parte imaginaria pura denotada Im z. Probar que:

10. Si |a| < 1, ¿qu´ n´meros complejos z satisfacen
e u
z−a
< 1?
1 − az

a) z = 5 + 2i

c) z =

b) z 8 + 1 = 0

11....