Complejos

Ingenier´
ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´
ımica.
Matem´ticas I. 2010-2011.
a
Departamento de Matem´tica Aplicada II.
a
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 2.- Los n´ meros complejos. Polinomios.
u
2.1.- Los n´meros complejos. Operaciones.
u
Forma bin´mica. Operaciones y propiedades.
o
Forma exponencial. Potencias y ra´
ıces.
2.2.- Polinomios.Factorizaci´n de polinomios. El Teorema del resto.
o
´
El Teorema fundamental del Algebra.
Las ra´ de un polinomio real.
ıces
2.3.- Movimientos en el plano.
Traslaciones.
Homotecias.
Giros.
Proyecciones.
Simetr´
ıas.
Transformaciones lineales.
2.4.- Ejercicios.
2.5.- Ap´ndice: MATLAB.
e
En la secci´n 1 estudiamos los n´ meros complejos y sus operaciones. Por una parte, los
o
u
utilizaremospara el estudio de la factorizaci´n de un polinomio y por otra, para expresar
o
ciertas transformaciones del plano mediante operaciones sobre ellos. En la secci´n 2, dedicada
o
a la factorizaci´n de polinomios, se puede apreciar la necesidad y conveniencia del estudio
o
de los n´ meros complejos. La secci´n 3 est´ dedicada al estudio de algunas transformaciones
u
o
a
del plano y a suexpresi´n mediante n´ meros complejos y mediante matrices y vectores.
o
u

2.1.- Los n´ meros complejos. Operaciones.
u
Hist´ricamente, los n´ meros complejos surgieron para tratar ecuaciones polin´micas, tales
o
u
o
2
como x + 1 = 0, que no tienen soluci´n real. En esta direcci´n, el resultado principal que
o
o
´
consideraremos en esta secci´n ser´ el Teorema Fundamental del Algebraque asegura
o
a
que toda ecuaci´n polin´mica con coeficientes complejos tiene, al menos, una soluci´n.
o
o
o
Previamente, habremos definido los n´ meros complejos, sus operaciones m´s importantes
u
a
y la interpretaci´n geom´trica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transforo
e
maciones sobre el plano complejo.
M´s importante que la definici´n en s´ de los n´ meroscomplejos, son las operaciones
a
o
ı
u
que hay definidas sobre ellos y las propiedades de dichas operaciones. Un n´ mero complejo
u
39

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Tema 2.- Los n´ meros complejos. Polinomios.
u

vendr´ dado por dos n´ meros reales o, si se quiere por un punto o un vector del plano. Sobre
a
u
los n´ meros complejos definiremos las operaciones suma y producto. Desde el punto de vista
u
de laoperaci´n suma, los n´ meros complejos pueden ser tratados como vectores reales de
o
u
dos coordenadas. La operaci´n producto tendr´, en los aspectos aritm´ticos, propiedades
o
a
e
similares a las del producto de n´ meros reales. Dentro de los n´ meros complejos tendremos
u
u
a los n´ meros reales. Cuando estemos considerando n´ meros complejos, no tendr´ sentido
u
u
a
trabajar condesigualdades a menos que previamente hayamos impuesto que los t´rminos de
e
dichas desigualdades sean n´ meros reales.
u
2.1.1.- Forma bin´mica. Operaciones y propiedades.
o
Definici´n. Un n´ mero complejo es un n´ mero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde
o
u
u
2
i verifica que i = −1 y a y b son n´ meros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los
u
n´ meros reales a y b seconocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria del
u
n´ mero complejo z y se suele escribir
u
Re(z) = a,

Im(z) = b.

Esta expresi´n que acabamos de describir de los n´ meros complejos (m´s adelante veremos
o
u
a
otra) se denomina forma bin´mica del n´ mero.
o
u
Dos n´ meros complejos z y w son iguales si, y s´lo si,
u
o
Re (z) = Re (w)

y

Im (z) = Im (w) .

Alconjunto de los n´ meros complejos lo denotaremos por C, es decir,
u
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente z = a. Si a = 0 escribiremos z = bi. En
este ultimo caso diremos que z es un n´mero imaginario puro. En lo que sigue identifi´
u
caremos el n´ mero real a con el n´ mero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender
u
u
que el conjunto de...