Complejos

Una Introducci´on
a los
N´umeros Complejos

por
FRANCISCO RIVERO MENDOZA

Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de los Andes
M´erida - Venezuela
Marzo de 2001.

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A
Paola y Francisco...
y que siempre vayan por la vida
sintiendo la magia de los n´umeros.

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´Indice general
1. Historia de los N´
umeros
1.1. Los inicios del ´algebra
1.2. Cardano . . . . . . . .
1.3.Bombelli . . . . . . . .
1.4. N´
umeros Imaginarios .

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3. La f´
ormula de Euler
3.1. El N´
umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Aplicaciones a la Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Un paseo por la Geometr´ıa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. El Teorema Fundamental del Algebra
4.1. La historia del T.F.A. . . . . . . . . . . .
4.2. Preparando nuestro arsenal . . . . . . . .
4.3. L´ımites de sucesiones complejas . . . . . .
4.4. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . .
4.5. Propiedad Topol´ogica del Disco Complejo
4.6. El teorema de Weierstrass . . . . . . . . .
´
4.7. TeoremaFundamental del Algebra
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2. Algebra de los N´
umeros Complejos
2.1. Definici´on de n´
umero complejo . . . . . .
2.2. Suma de n´
umeros Complejos . . . . . . .
2.3. Producto de n´
umeros complejos . . . . .
2.4. Representaci´on geom´etrica . . . . . . . .
2.5. La Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Potencias y ra´ıces den´
umeros complejos.

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´INDICE GENERAL

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5. Movimientos en el plano
5.1. ¿Porqu´e los movimientos? . . . . . . .
5.2. Transformaciones en el plano complejo
5.3. Movimientos R´ıgidos . . . . . . . . .
5.4. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Rotaciones .. . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Rotaci´on de ejes . . . . . . . . . . . .
5.7. Reflexiones y deslizamientos . . . . . .

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´INDICE GENERAL

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Introducci´
on
La magia poderosa de los n´
umeros complejos

El tema de los N´
umeros Complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar
la trigonometr´ıa, el ´algebra y la geometr´ıa, es muy poco estudiado en la escuela
b´asica y diversificada. Para muchos docentes, la finalidad de los n´
umeros complejos
est´a en poder calcular las ra´ıces en´esimas de la unidad. En loscursos de matem´aticas b´asicas en la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades m´as
importantes, dejando de lado aspectos geom´etricos tan importantes como el estudio
de las transformaciones y los movimientos del plano.
El poder de c´alculo que se esconde detr´as de los complejos, es algo m´agico. Con
un m´ınimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y f´ormulastrigonom´etricas que
requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los m´etodos usuales. Muchos
conceptos de la matem´atica, como el de funci´on, l´ımites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los n´
umeros
complejos. Los argumentos de prueba son mucho m´as intuitivos y transparentes en
el plano.
En el presente libro se tratan los aspectos...