Complejos

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

´
Algebra
Lineal
N´
umeros Complejos
❆❝❛❞❡♠✐❛ ❞❡ ❆▲
❋■◗✲❯❆❉❨

AAL

N´
umeros Complejos

1/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

Contenido:

1

N´
umeros complejos

2

El plano complejo

3

Operaciones concomplejos

❊❧ ❝♦♠♣❧❡❥♦ ❝♦♥❥✉❣❛❞♦
▼✓♦❞✉❧♦ ❞❡ ✉♥ ♥✓✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦
4

Forma polar de un n´
umero complejo

5

Forma Exponencial

AAL

N´
umeros Complejos

2/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

Contenido:

1

N´
umeros complejos

AAL

N´
umeros Complejos

3/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Formapolar de un n´
umero complejo Forma E

❈♦♠♦ ♣r✐♠❡r ♣❛s♦ ❡♥ ❧♦s ❝♦♠♣❧❡❥♦s✱ ❝♦♥s✐❞❡r❡♠♦s ❧❛s r❛✓✏❝❡s ❞❡ ❧❛
❡❝✉❛❝✐✓♦♥ ① ✷ ✰ ✷① ✰ ✺ ❂ ✵✳
P❛r❛ ❡♥❝♦♥tr❛r s✉ r❛✓✏❝❡s ♣♦❞❡♠♦s ❛♣❧✐❝❛r ❧❛ ❢✓♦r♠✉❧❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♣❛r❛
❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❝✉❛❞r✓❛t✐❝❛s ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛

❛① ✰ ❜① ✰ ❝ ❂ ✵
✷

❧❛ ❢✓♦r♠✉❧❛ ❡s✿

♣
 
❜ ✝ ❜   ✹❛❝
①❀ ❂
✷❛
✷

✶ ✷

AAL

N´
umeros Complejos

4/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejosForma polar de un n´
umero complejo Forma E

❊♥ ❡st❡ ❝❛s♦ s❡ t✐❡♥❡ ❛ ❂ ✶✱ ❜ ❂ ✷✱ ❝ ❂ ✺ ②
❜✷   ✹❛❝ ❂ ✹   ✷✵ ❂  ✶✻ ❊♥t♦♥❝❡s

♣

❜   ✹❛❝ ❂  ✶✻
✷

▲♦ ❝✉❛❧ ♥♦ t✐❡♥❡ s♦❧✉❝✐♦♥❡s ❡♥ ❧♦s r❡❛❧❡s ❘✳ ❈♦♥ ❧♦ ❛♥t❡r✐♦r s❡
❤❛❝❡ ♥❡❝❡s❛r✐❛ ✉♥❛ ❛♠♣❧✐❛❝✐✓♦♥ ❞❡ ❘ ❛ ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❡♥ ❡❧ ❝✉❛❧
♣✉❡❞❛♥ r❡s♦❧✈❡rs❡ s✐t✉❛❝✐♦♥❡s ❞❡❧ t✐♣♦ ❛♥t❡r✐♦r✳ ❚❛❧ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❡s ❡❧
❞❡ ❧♦s ♥✓✉♠❡r♦s ❝♦♠♣❧❡❥♦s✳ ◆♦t❛✿ ❊❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ s✉r❣❡ ♣✉❡s ♥♦ s❡♣✉❡❞❡ ❝❛❧❝✉❧❛r ✉♥❛ r❛✓✏③ ♣❛r ♥❡❣❛t✐✈❛✳

AAL

N´
umeros Complejos

5/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

P❛r❛ ♠❛♥❡❥❛r ❡❧ ❝❛s♦ ❜✷   ✹❛❝ ❁ ✵✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❝✉❛♥❞♦ s❡ ♣r❡s❡♥t❛
✉♥❛ r❛✓✏③ ❝✉❛❞r❛❞❛ ❞❡ ✉♥ ♥✓✉♠❡r♦ ♥❡❣❛t✐✈♦ ❡♥ ❧❛ ❢✓♦r♠✉❧❛ ❣❡♥❡r❛❧ s❡
✐♥tr♦❞✉❝❡ ❧❛ ✉♥✐❞❛❞ ✐♠❛❣✐♥❛r✐❛✿

♣

✐ ❂  ✶
❞❡ ♠❛♥❡r❛ q✉❡

✐ ❂  ✶✳
✷

AAL

N´
umeros Complejos6/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

❈♦♥ ❧♦ ❛♥t❡r✐♦r ♣❛r❛

① ✰ ✷① ✰ ✺ ❂ ✵ t❡♥❡♠♦s
✷

♣

♣ ♣

❜   ✹❛❝ ❂  ✶✻ ❂ ✶✻  ✶
❂ ✹✐
✷

❞❡ ❡st❛ ♠❛♥❡r❛ ❧❛s s♦❧✉❝✐♦♥❡s s♦♥

 ✷ ✰ ✹✐ ❂  ✶ ✰ ✷✐
✷
 
✷   ✹✐
① ❂ ✷ ❂  ✶   ✷✐

① ❂
✶

✷

AAL

N´
umeros Complejos

7/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Formapolar de un n´
umero complejo Forma E

Definici´
on

❯♥ ♥✓
✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦ ❡s ✉♥❛ ❡①♣r❡s✐✓♦♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛

③ ❂ ❛ ✰ ❜✐
❛ ② ❜ s♦♥ ♥✓✉♠❡r♦s r❡❛❧❡s✳
■ ❛ s❡ ❧❧❛♠❛ ❧❛ ♣❛rt❡ r❡❛❧ ❞❡ ③ ② s❡ ❞❡♥♦t❛ ♣♦r ❘❡ ③ ✭❘❡ ③ ❂ ❛✮✱
■ ❜ s❡ ❧❧❛♠❛ ❧❛ ♣❛rt❡ ✐♠❛❣✐♥❛r✐❛ ❞❡ ③ ② s❡ ❞❡♥♦t❛ ♣♦r ■♠ ③
✭■♠ ③ ❂ ❜✮✳

❞♦♥❞❡

❊♥ ♦❝❛s✐♦♥❡s ❧❛ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐✓♦♥ ③ ❂ ❛ ✰ ❜✐ r❡❝✐❜❡ ❡❧ ♥♦♠❜r❡ ❞❡
❢♦r♠❛ ❝❛rt❡s✐❛♥❛ ❞❡❧ ♥✓✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦ ③ ✳

AAL

N´umeros Complejos

8/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

Contenido:

2

El plano complejo

AAL

N´
umeros Complejos

9/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

Ideas:

■ ❈♦♥s✐❞❡r❡ ❡❧ ♥✓✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦ ③ ❂ ❛ ✰ ❜✐ ✳ P♦❞❡♠♦s ♣❡♥s❛r ❛

❡st❡ ♥✓✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦❝♦♠♦ ✉♥ ♣✉♥t♦ ✭❛❀ ❜✮ ❡♥ ❡❧ ♣❧❛♥♦
❝❛rt❡s✐❛♥♦ ❡st✓❛♥❞❛r✳
■ ❆❤♦r❛ ♣♦❞❡♠♦s ✉♥✐r ❡❧ ♣✉♥t♦ ✭❛❀ ❜✮ ❝♦♥ ❡❧ ♦r✐❣❡♥ ♣❛r❛
r❡♣r❡s❡♥t❛r ❛❧ ♥✓✉♠❡r♦ ❝♦♠♣❧❡❥♦ ❝♦♠♦ ✉♥ ✈❡❝t♦r ❡♥ ❡❧ ♣❧❛♥♦✳
■ ❊♥ ❡st❛ ✐♥t❡r♣r❡t❛❝✐✓♦♥ ❧❧❛♠❛r❡♠♦s ❛❧ ❡❥❡ ① ❡❥❡ r❡❛❧ ✭❘❡✮ ② ❛❧
❡❥❡ ② ❡❥❡ ✐♠❛❣✐♥❛r✐♦ ✭■♠✮

AAL

N´
umeros Complejos

10/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejoForma E

❆ t♦❞♦ ❡❧ ♣❧❛♥♦
❝♦♠♣❧❡❥♦✳

①② ❝♦♥ ❡st❛ ✐♥t❡r♣r❡t❛❝✐✓♦♥ ❧♦ ❧❧❛♠❛♠♦s ❡❧ ♣❧❛♥♦

AAL

N´
umeros Complejos

11/42

N´
umeros complejos El plano complejo Operaciones con complejos Forma polar de un n´
umero complejo Forma E

Ejemplo

❉❡t❡r♠✐♥❛r ❛♥❛❧✓✏t✐❝❛ ② ❣r✓❛☞❝❛♠❡♥t❡ ❧♦s ❝♦♠♣❧❡❥♦s
❝✉♠♣❧❡♥✿
a) ❘❡✭③ ✮ ❂ ✷
b) ■♠✭③ ✮ ✔ ✸
c) ❘❡✭③ ✮ ✰ ■♠✭③ ✮ ❂ ✶

AAL

N´
umeros Complejos

③ ❂ ❛ ✰ ✐❜ q✉❡...