Complemento_3_Prueba_de_Bondad_de_Ajuste_de_Kolmogorov_Smirnov

Prueba de Bondad de Ajuste de
Kolmogorov-Smirnov (KS)
Hipótesis a contrastar:
H0: Los datos analizados siguen una distribución M.
H1: Los datos analizados no siguen una distribución M.
Estadístico de contraste:

D = sup Fˆn ( xi ) − F0 ( xi )
1≤i ≤ n

donde:
• xi es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos
valores se han ordenado previamente de menor a mayor).
• Fˆn ( xi ) es un estimadorde la probabilidad de observar
valores menores o iguales que xi.
• F0 ( x ) es la probabilidad de observar valores menores o
iguales que xi cuando H0 es cierta.
Así pues, D es la mayor diferencia absoluta observada entre la
frecuencia acumulada observada Fˆn ( x ) y la frecuencia
acumulada teórica F0 ( x ) , obtenida a partir de la distribución de
probabilidad que se especifica como hipótesisnula.
Si los valores observados Fˆn ( x ) son similares a los esperados
F0 ( x ) , el valor de D será pequeño. Cuanto mayor sea la
discrepancia entre la distribución empírica Fˆ ( x ) y la distribución
n

teórica , mayor será el valor de D.

Por tanto, el criterio para la toma de la decisión entre las dos
hipótesis será de la forma:
Si D≤Dα ⇒ Aceptar H0
Si D>Dα ⇒ Rechazar H0
donde el valor Dα seelige de tal manera que:

P (Rechazar H0 H0 es cierta) =

= P ( D > Dα Los datos siguen la distribucion M) = α

siendo α el nivel de significación del contraste.
Para el cálculo práctico del estadístico D deben obtenerse:

i − 1

D − = max  F0 ( xi ) −

1≤i ≤ n
n



i

D + = max  − F0 ( xi )  ,
1≤i ≤ n
n

y a partir de estos valores:

D = max {D + , D − }

A su vez, el valor de Dα dependedel tipo de distribución a probar
y se encuentra tabulado. En general es de la forma:

cα
k ( n)
donde cα y k(n) se encuentran en las tablas siguientes:
Dα =

cα

Modelo
General
Normal
Exponencial
Weibull n=10
Weibull n=20
Weibull n=50
Weibull n= ∞

0.1
1.224
0.819
0.990
0.760
0.779
0.790
0.803

α
0.05
1.358
0.895
1.094
0.819
0.843
0.856
0.874

0.01
1.628
1.035
1.308
0.944
0.973
0.988
1.007DISTRIBUCIÓN QUE SE
CONTRASTA
General. Parámetros conocidos.

k(n)

k (n) = n + 0.12 +

Normal

k ( n) = n − 0.01 +

Exponencial

k (n) = n + 0.12 +

Weibull

k ( n) = n

0.11
n
0.85
n
0.11

n

Ejemplo 1:
Determinar si los valores de la primera columna se conforman a una
distribución normal:
Y
6.0
2.3
4.8
5.6
4.5
3.4
3.3
1.9
4.8
4.5

Y-ordenados
1.9
2.3
3.3
3.4
4.5
4.5
4.8
4.8
5.6
6.0

Orden
1
2
3
45
6
7
8
9
10

F
Z
0.1 -1.628
0.2 -1.332
0.3 -0.592
0.4 -0.518
0.5 0.296
0.6 0.296
0.7 0.518
0.8 0.518
0.9 1.11
1.0 1.406

Fo
0.051
0.091
0.276
0.302
0.616
0.616
0.698
0.698
0.867
0.920

D+
0.049
0.109
0.024
0.098
-0.116*
-0.016
0.002
0.102
0.033
0.080

D0.051
-0.009
0.076
0.002
0.216*
0.116
0.098
-0.002
0.067
0.020

(media: 4.1 varianza: 1.82)
Dα =

0.895
10 − 0.01 +

0.85

=

0.895
= 0.262
3.4210

Como el valor D = 0.216 < 0.262, no se rechaza H0 y se acepta
que los datos se distribuyen normalmente.

Modo alternativo de realizar la prueba de Kolmogorov
Smirnov.
La toma de la decisión en el contraste anterior puede llevarse a
cabo también mediante el empleo del p-valor asociado al
estadístico D observado. El p-valor se define como:
p-valor = P ( D > Dobs H 0 es cierta )

Si el p-valor esgrande significa que, siendo cierta la hipótesis
nula, el valor observado del estadístico D era esperable. Por
tanto no hay razón para rechazar dicha hipótesis. Asimismo, si el
p-valor fuera pequeño, ello indicaría que, siendo cierta la
hipótesis nula, era muy difícil que se produjera el valor de D que
efectivamente se ha observado. Ello obliga a poner muy en duda,
y por tanto a rechazar, lahipótesis nula. De esta forma, para un
nivel de significación α, la regla de decisión para este contraste
es:
Si p-valor ≥ α ⇒ Aceptar H0
Si p-valor < α ⇒ Rechazar H0
Obviamente, la obtención del p-valor requiere conocer la
distribución de D bajo la hipótesis nula y hacer el cálculo
correspondiente. En el caso particular de la prueba de
Kolmogorov Smirnov, la mayoría de los paquetes de software...