Complemento_Matem_tico
Páginas: 7 (1598 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2015
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO D CHILE
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Complemento Matemático
Curso
Ingeniería Electromagnética
Profesor
Dr. Enrique San Juan Urrutia
Ultima actualización:
Febrero 2012
Complemento Matemático
Complemento Matemático
1. Objetivos.
El objetivo de este documento es presentar las principales herramientas
matemáticas utilizadas en el campodel electromagnetismo, para
posteriormente ser empleadas en la resolución de problemas para la asignatura
de “Ingeniería electromagnética”.
2. Índice.
Sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas.
Diferenciales de longitud, área y volumen.
Operador Nabla.
Flujo de un Campo.
Gradiente.
Divergencia.
Teorema de la divergencia.
Circulación.Rotacional.
Teorema de Stokes.
Divergencia de un rotacional.
3. Bibliografía.
-Apuntes asignatura Ingeniería electromagnética DIE-USACH, Profesor
Fideromo Saavedra, actualización 2006.
-Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería, David K.Cheng, Ed.
Addison-Wesley 1997.
-Elementos de electromagnetismo 3° ed 2002, Matthew N.O. Sadiku, Ed.
Oxford.
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San JuanUrrutia.
Página 2
Complemento Matemático
Representación de vectores
Sistema de coordenadas cartesianas
Un vector
esta dado por:
Con:
Sistema de coordenadas cilíndricas
Este sistema está compuesto por la triada
.
Con:
El vector
expresado en coordenadas cilíndricas queda dado como:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 3
Complemento Matemático
Relacionesentre sistema cartesiano y cilíndrico
Las relaciones entre
y
son las siguientes:
y
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 4
Complemento Matemático
Matricialmente se tiene para
del sistema cartesiano al sistema cilíndrico
La inversa de esta transformación es:
Sistema de coordenadas esféricas
Este sistema está compuesto por la triada
Con:
Los vectoresunitarios están relacionados de la siguiente manera:
Y
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 5
Complemento Matemático
Finalmente para realizar la transformación de
en forma
matricial es:
Y de
:
Diferenciales de longitud, área y volumen
Para coordenadas cartesianas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Volumen diferencial:
Un elemento diferencialde superficie vendrá dado por:
Con
vector unitario normal a la superficie
.
Para coordenadas cilíndricas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 6
Complemento Matemático
Volumen diferencial:
Para
coordenadas esféricas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Volumen diferencial:
Operador NablaAplicaciones del operador nabla:
1. Gradiente de un escalar
2. Divergencia de un vector
,
3. Rotacional de un vector ,
4. Laplaciano de un escalar
En coordenadas cilíndricas:
En coordenadas esféricas:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 7
Complemento Matemático
Flujo de un campo
Para un campo vectorial
continuo en una región que contiene la superficie S plana,el
flujo a través de S del campo vectorial
se define como:
En donde cualquier punto sobre la superficie S,
es el vector unitario normal a S.
Para una superficie cerrada s tendrá:
O flujo neto hacia fuera de
desde S.
Gradiente
El gradiente de un “campo escalar ” es un vector que representa tanto la magnitud
como la dirección de máxima rapidez de incremento espacial de la función escalar .En coordenadas cartesianas se tiene:
En coordenadas cilíndricas se tiene:
En coordenadas esféricas:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 8
Complemento Matemático
Divergencia de un vector
La divergencia en un punto p es el flujo hacia fuera por unidad de volumen o medida
que el volumen se contrae alrededor de p.
Se puede demostrar que:
Similarmente:
La...
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Complemento Matemático
Curso
Ingeniería Electromagnética
Profesor
Dr. Enrique San Juan Urrutia
Ultima actualización:
Febrero 2012
Complemento Matemático
Complemento Matemático
1. Objetivos.
El objetivo de este documento es presentar las principales herramientas
matemáticas utilizadas en el campodel electromagnetismo, para
posteriormente ser empleadas en la resolución de problemas para la asignatura
de “Ingeniería electromagnética”.
2. Índice.
Sistema de coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas.
Diferenciales de longitud, área y volumen.
Operador Nabla.
Flujo de un Campo.
Gradiente.
Divergencia.
Teorema de la divergencia.
Circulación.Rotacional.
Teorema de Stokes.
Divergencia de un rotacional.
3. Bibliografía.
-Apuntes asignatura Ingeniería electromagnética DIE-USACH, Profesor
Fideromo Saavedra, actualización 2006.
-Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería, David K.Cheng, Ed.
Addison-Wesley 1997.
-Elementos de electromagnetismo 3° ed 2002, Matthew N.O. Sadiku, Ed.
Oxford.
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San JuanUrrutia.
Página 2
Complemento Matemático
Representación de vectores
Sistema de coordenadas cartesianas
Un vector
esta dado por:
Con:
Sistema de coordenadas cilíndricas
Este sistema está compuesto por la triada
.
Con:
El vector
expresado en coordenadas cilíndricas queda dado como:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 3
Complemento Matemático
Relacionesentre sistema cartesiano y cilíndrico
Las relaciones entre
y
son las siguientes:
y
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 4
Complemento Matemático
Matricialmente se tiene para
del sistema cartesiano al sistema cilíndrico
La inversa de esta transformación es:
Sistema de coordenadas esféricas
Este sistema está compuesto por la triada
Con:
Los vectoresunitarios están relacionados de la siguiente manera:
Y
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 5
Complemento Matemático
Finalmente para realizar la transformación de
en forma
matricial es:
Y de
:
Diferenciales de longitud, área y volumen
Para coordenadas cartesianas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Volumen diferencial:
Un elemento diferencialde superficie vendrá dado por:
Con
vector unitario normal a la superficie
.
Para coordenadas cilíndricas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 6
Complemento Matemático
Volumen diferencial:
Para
coordenadas esféricas:
Desplazamiento diferencial:
Área diferencial normal:
Volumen diferencial:
Operador NablaAplicaciones del operador nabla:
1. Gradiente de un escalar
2. Divergencia de un vector
,
3. Rotacional de un vector ,
4. Laplaciano de un escalar
En coordenadas cilíndricas:
En coordenadas esféricas:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 7
Complemento Matemático
Flujo de un campo
Para un campo vectorial
continuo en una región que contiene la superficie S plana,el
flujo a través de S del campo vectorial
se define como:
En donde cualquier punto sobre la superficie S,
es el vector unitario normal a S.
Para una superficie cerrada s tendrá:
O flujo neto hacia fuera de
desde S.
Gradiente
El gradiente de un “campo escalar ” es un vector que representa tanto la magnitud
como la dirección de máxima rapidez de incremento espacial de la función escalar .En coordenadas cartesianas se tiene:
En coordenadas cilíndricas se tiene:
En coordenadas esféricas:
Ingeniería electromagnética, Dr. Enrique San Juan Urrutia.
Página 8
Complemento Matemático
Divergencia de un vector
La divergencia en un punto p es el flujo hacia fuera por unidad de volumen o medida
que el volumen se contrae alrededor de p.
Se puede demostrar que:
Similarmente:
La...
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