Completacion En Los Reales

USACH

1° sem 2015
Prof: Lina Silva Honorato
COMPLETACION EN LOS REALES

R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:

CONCEPTOS PREVIOS
i)

El conjunto S es Acotadosuperiormente si:  M  R 
x  S ;  x  M , M es llamado Cota Superior del conjunto.

ii)

El conjunto S se dice Acotado inferiormente si :  N  R 
x  S  x  N , N es Cota Inferior del conjunto.iii)

El conjunto S es Acotado; si es acotado superior e inferiormente.

Obs: Las cotas superiores e inferiores son infinitas.
Ax. : S  R, S a cot ado Superiormente  S tiene S upremo

DEFINICION: Sellama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e
Ínfimo del conjunto a la mayor de las cotas inferiores.
Así el Supremo e Ínfimo de un conjunto si existen son únicos.
AXIOMA DEL SUPREMO:
Ax. : S  R, S a cot ado Superiormente  S tiene S upremo
DEFINICION: Si un conjunto tiene Supremo y este número pertenece al conjunto se dice
que es el Máximo del conjunto y si de no ser si , elconjunto no tendría máximo.
De igual forma si un conjunto tiene ínfimo y este número pertenece al conjunto , se dice
que es el mínimo del conjunto, de no ser así el conjunto no tendría mínimo

Ejemplo :El conjunto de los números Naturales es acotado inferiormente , y el conjunto de
cotas inferiores de N es :   ,1  pero no es acotado superiormente ¿ por que?
Como el 1 es el mayor de las cotasinferiores , se dice que es el ínfimo del conjunto
Se denota inf N  1 además 1 esta en N , por lo tanto 1 es el mínimo.
Ejemplo : el Conjunto A   1 ,1  Tiene como cotas inferiores   1  y elmayor de
las cotas inferiores es -1 por lo tanto inf A  1 pero 1  A , por lo tanto el conjunto no
tiene Mínimo,

Tiene cotas superiores 1 ,  y el menor de las cotas superiores es el 1 , asi SupA 1
Como no pertenece al conjunto, no tiene Máximo.

Ejemplos
1. Determinar cotas, Supremo e Ínfimo del conjunto:

1
2. S   x  R x  1  ; n  N 
n


Solución:
Asignando valores a n se...