Complex

Apuntes de Variable Compleja
Jose S. Cánovas Peña
9 de febrero de 2009

Índice General
Advertencia.
• Estos apuntes no han sido corregidos. Cualquier errata o error que se detecte, por favor,
escribid a mi dirección jose.canovas@upct.es, para que en un futuro se pueda subsanar.
• No son los apuntes de la asignatura. Son una guía que no tiene porqué corresponderse al cien
por cien con loexplicado en clase.
∗

• Se ha utilizado el símbolo = para denotar un paso en alguna demostración que, siendo cierto, no
está bien justificado. Normalmente cuando se trata de permuta de límites, como una integral
con un sumatorio. Para un estudio de las pruebas rigurosas al cien por cien nos remitimos a la
bibliografía al final de estas notas.

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Índice General

ii

Índice General
1 El cuerpo de losnúmeros complejos
1.1 Introducción a los números complejos . . . . .
1.2 Operaciones con números complejos: el cuerpo
1.3 El conjugado de un número complejo . . . . .
1.4 Módulo y argumento de un número complejo .
1.5 Topología del plano complejo . . . . . . . . .
1.5.1 La esfera de Riemann . . . . . . . . . .
1.5.2 Sucesiones de numeros complejos . . .
1.5.3 Series de numeros complejos . . . . . .1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Funciones de variable compleja. Derivada en sentido complejo.
2.1 Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2.1.1 Polinomios con coeficientes complejos . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Funciones racionales complejas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Función exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Funciones trigonométricas complejas . . . . . . . . . . . . .
2.2 Límites de funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Continuidad de funciones devariable compleja . . . . . . . . . . . .
2.4 Derivación en sentido complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 El logaritmo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Integración compleja.
3.1 Curvas en el plano complejo . . . . .
3.2 Integrales de funciones sobre caminos
3.3 El Teorema deCauchy . . . . . . . .
3.4 Las fórmulas integrales de Cauchy . .
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Series de potencias y de Laurent. Polos y residuos.
4.1 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Series de Laurent . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Singularidades de una función compleja. Clasificación de singularidades aisladas
4.4 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.4.1 Ecuaciones en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Transformada Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Aplicación a la resolución de la...