Complexes_avancats_sol

Llista de problemes Tema 1: Introducci´
o als nombres complexos
Matem`
atiques I
Grau de F´ısica i Qu´ımica, Curs 2009/2010

1. Calculau el valor absolut i l’argument de cada un dels nombrescomplexos
(a) 3 + 4i, Sol.: r = 5, α = arctan(4/3)
(b) (3 + 4i)−1 , Sol.: r = 5, α = 2π − arctan(4/3)
√
(c) (1 + i)5 , Sol.: r = 4 2, α = arctan( 5π
)
4
√
√
(d) 7 3 + 4i, Sol.: r = 7 5, α = arctan(4/3)
7
2.Calculau
(a) i5787 , Sol.: −i
(b) (−1 + i)30 , Sol.: 215 i
√
(c) 4 −16, Sol.: 2π/4 , 23π/4 , 25π/4 , 27π/4
√
√
√ 5π
(d) (1 + 3i)(1 + i)( 3 − i), Sol.: 4 2e 12 i
3. Resoldre les equacions
(a) x6 − 1 = 0amb x real, Sol.: x = ±1
(b) z 6 − 1 = 0 amb z cxomplex, Sol.: z = 10 , 1π/3 , 12π/3 , 1π , 14π/3 , 15π/3
(c) x2 − 4x + 13 = 0 amb x complex, Sol.: x = 2 + 3i, x = 2 − 3i
4. Determinau x per tal queel producte (2 − 5i)(3 + xi) sigui
(a) un nombre real, Sol.: x = 15/2
(b) un nombre complexe, Sol.: x = 6/5
5. Calculau 1i , i12 , i13 , i−4 , ..., Sol.: i, 1, i, 1, i, ...
6. Trobau x per tal que elquocient x+3i
sigui un nombre imaginari pur. Quin imaginari
3+2i
resulta amb el valor de x trobat? Sol.: x = 2, z = i
uocient ´es imaginari
pur i la part
7. La suma de dos complexos ´es 3 + 2i, el seuq¨
√
√ real d’un
d’ells ´es 2. Trobar-los. Sol.: Dues solucions, z = 2 ± (1 + 3)i i z = 2 ∓ (1 + 3)i
8. Trobar els complexos, diferents del
√ complex nul, √tals que el seu quadrat sigui igual al seu−1
conjugat. Sol.: z1 = 1, z2 = 2 + 23 i, z3 = −1
− 23 i
2
9. Resoldre l’operaci´o

z1 z2 z3 z4
z1 +z2 +z3 +z4

amb z1 = i, z2 = −i, z3 = 1, z4 = 1 − i. Sol.: z = 0.6 − 0.2i

10. Calcular els nombresreals x i y de manera que

3−xi
1+2i

uents equacions complexes
11. Resoldre les seg¨
(a) z 3 + 1 = 0, Sol.: z1 = 1π/3 , z1 = 1π , z1 = 15π/3

= y + 2i. Sol.: x = 16, y = 7

(b) z 6 − 28z 3 + 27 = 0Sol.: zk = 12kπ/3 , zk = 32kπ/3 , k = 0, 1, 2.
(c) z 3 − 2z 2 + 4z − 8 = 0 Sol.: z1 = 2, z2 = 2i, z3 = −2i
(d) z 2 − (2 + 3i)z + (−1 + 3i) = 0 Sol.: z1 = 1 + 2i, z2 = 1 + i
√
12. Donat el nombre...