compocision funciona

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

Material Didáctico

Coordinación de Cálculo I

.d o

m

w

o

.c

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

COMPOSICIÓNDE
F U N CI ON E S

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

COMPOSICIÓN
•

Es una operación entre funciones que se establece por
la siguiente definición:

•

Dadas dos funciones fy g , se conoce como la

composición de la función f con la función g , a la
función denotada por f o g (léase: efe composición
ge), cuya regla de correspondencia es
( f o g ) ( x ) = f [ g (x) ]
En donde su dominio está dado por el conjunto:

D fog = { ∀ x ∈ D g / g(x) ∈ D f

}

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

NO

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

•Para entender mejor la composición,
recordemos el significado de la notación
funcional, pues la definición está
expresada en estos términos.

La notación funcional sirve para
representar simbólicamente una función,
esto es:
w = h (z)

Rh

DhRegla de correspondencia de la función

h

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

Si escribiéramos únicamente h(z), sigue quedando
claro que z representa el dominio de la función h yque h(z) su recorrido.

De lo anterior, para que tenga sentido la expresión
f[g(x)], es necesario que el recorrido de la
función g, esté contenido en el dominio de la
función f. Esto significa, que una condición
necesaria para que pueda realizarse la
composición entre la función f y la función g, es que:

Rg ∩ Df

≠

∅

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

ww

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

Para ilustrar la composición,
recurramos a representarla por
medio de un diagrama de Venn

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

w

Representación en diagrama de Venn de una
función
f

Recorrido
de

Dominio de f

Codominio de f

f

.d o

o

.c

m

C

m
o

.d o

w

w

w

w

w

C

lic

k

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.cH
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu

f o g

f[g(x)]

Dfog

Rfog

x

Dg

Rf

f

g
g(x)

Rg ∩ Df

Df

El

Dfog se obtiene del Dg

El

Rfog se obtiene del Rf

k
lic
.d o

m

w

o

m
o

.c

C

k

to

Para
Paralalacomposición
composiciónel
eldiagrama
diagramade
deVenn
Vennserá
será

lic
C
c u-tr a c k

w

w

.d ow

w

w

to

bu

y

N
O

W

!

PD

!

PD

c u-tr a c k

.c

H
F-XC A N GE

H
F-XC A N GE

W
N
O
y
bu
to
k
lic

c u-tr a c k

De la lámina anterior vemos que si :
a) R g ∩ D f = R g ,

entonces

D f og = D g

b) R g ∩ D f ⊂ R g ,

entonces

D f og ⊂ D g

c) R g ∩ D f = D f ,

entonces

R f og = R f

d) R g ∩ D f ⊂ D f ,...