Comportamento qualitativo das solu¸c˜oes de equacoes e inequacoes diferenciais

Comportamento Qualitativo das solu¸˜es de Equa¸˜es e co co Inequa¸˜es Diferenciais co
T´ lio Portes Quaresma u Ana Maria Amarillo Bertone (orientadora)
Universidade Federal de Uberlˆndia a Faculdade de Matem´tica-PROMAT a

Resumo Esse artigo tem por objetivo apresentar o comportamento qualitativo das solu¸oes de Equac˜ c˜ ¸oes Diferenciais Ordin´rias, EDO, e de Inequa¸oes Diferenciais, nestecaso, quando a cona c˜ di¸ao de Lipschitz falha para a fun¸ao fluxo. Esta an´lise dar´ um completo estudo dos c˜ c˜ a a diferentes casos, exponencial, hiperb´lico e linear. Para isto usaremos alguns resultados o cl´ssicos da An´lise que enunciaremos na ultima se¸ao, onde ser˜o feitas algumas das suas a a ´ c˜ a demonstra¸oes a modo de apˆndice para nosso trabalho. c˜ e

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Introdu¸˜o caVamos mostrar neste trabalho que podemos dividir o comportamento qualitativo do crescimento das solu¸˜es para certas EDO e Inequa¸˜es Diferenciais da seguinte maneira: considere co co o n´mero γ > 0 e os seguintes casos u Caso A f = γf. Mostraremos que neste caso f ´ proporcional a eγx , ou seja tem um crescimento e exponencial. Caso B f ≥ γf α , para algum α > 1. Neste caso mostraremos que se existiruma solu¸˜o posca itiva desta Inequa¸˜o diferencial, ela tender´ para infinito em um intervalo finito. Este ca a comportamento ´ chamado de “blow up”e o crescimento hiperb´lico. e o Caso C f ≤ γf β ,para algum β < 1. Neste caso a solu¸˜o da Inequa¸˜o diferencial ´ controlada ca ca e 1 por uma potˆncia finita de x, mais especificamente, x 1−β . Ou seja, temos um crescimento e no m´ximo polinomial. aAinda neste caso, se particularmente temos β = 0, isto ´, a Inequa¸˜o Diferencial for e ca f ≤ γ ent˜o f tem crescimento no m´ximo linear. a a Na seguinte se¸˜o veremos os teoremas relativos aos trˆs diferentes casos descritos nesta ca e introdu¸˜o. ca

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Os trˆs casos de comportamento qualitativo e

Teorema 2.1. (Caso exponencial) Seja γ ∈ R e f : R −→ R uma fun¸ao que satisfa¸a a equa¸aoc˜ c c˜ diferencial f (x) = γf (x), ent˜o a f (x) = f (0)eγx

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Demonstra¸˜o: Consideremos a fun¸˜o F definida por ca ca F (x) := f (x)e−γx . Derivando ambos os membros da igualdade acima, obtemos que F (x) = f (x)e−γx − γf (x)e−γx , e como f (x) = γf (x), obtemos F (x) = γf (x)e−γx − γf (x)e−γx = 0. Assim pelo corol´rio 3.2 (veja ultima se¸˜o), chegamos a que a ´ ca F (x) = F (0) = f (0), ∀x ∈R. Portanto f (x) = f (0)eγx , ∀x ∈ R.
ϒx

f(x)=f(0)e

e

x

f(x)=f(0)e

ϒx

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Figura 1: a fun¸ao solu¸ao ´ proporcional ` fun¸ao exponencial. c˜ c˜ e a c˜ Os pr´ximos dois teoremas ser˜o a justificativa do comportamento qualitativo de tipo hipero a b´lico. o Teorema 2.2. Seja a fun¸ao diferenci´vel f : [a, b] −→ R que satisfa¸a |f (x)| ≤ γ|f (x)|, sendo c˜ a c γ uma constante. Sef (x0 ) = 0 para algum x0 do dominio, ent˜o f ≡ 0 em [a, b]. a Demonstra¸˜o: Se γ < 0 e existe x0 ∈ [a, b], f (x0 ) = 0 tal que ca 0 ≤ |f (x)| ≤ γ|f (x)| < 0. Portanto f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Se γ > 0, considere por defini¸˜o ca δ= e escolha x1 ∈ [x0 − δ, x0 + δ] ∩ [a, b] =: I. |f (x1 )| = sup |f (x)|.
x∈I

1 2γ

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Pelo corolario 3.2 |f (x1 )| = |f (x1 ) − f (x0 )| ≤ |x1 − x0 | sup|f (ξ)|
ξ∈I

1 ≤ γ|x1 − x0 | sup |f (ξ)| ≤ γδ|f (x1 )| = |f (x1 )|. 2 ξ∈I Temos ent˜o, que demonstrar que existe um δ com as seguintes propriedades: a • Se f (x0 ) = 0 ent˜o f (x) = 0 para todo x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] ∩ [a, b]. a • Se f (x0 ) = 0 ent˜o ∃ menor ξ1 com a < ξ1 ≤ b e f (ξ1 ) = 0 ou um maior ξ2 com a ≤ ξ2 < b a e f (ξ2 ) = 0. No entanto isto n˜o ´ compativel com o que acabamos deprovar. a e Isto demonstra o afirmado. Como corol´rio do Teorema 2.2, mostraremos a unicidade da solu¸˜o da EDO a ca f (x) = φ(f (x)), x ∈ [a, b], com a condi¸˜o inicial f (a) = c, onde φ ´ uma fun¸˜o uniformemente Lipschitz. ca e ca A an´lise do crescimento hiperb´lico, vem motivado por este teorema, quando a propriedade a o da fun¸˜o φ de ser uniformemente Lipschitz ´ desconsiderada, como ser´...