comportamiento humano

Ley de Cosenos

Objetivos

Estudiada y analizada la ley de cosenos, cada estudiante la explicará sin error.

Estudiada la ley de cosenos y dado un triángulo seleccionado con las medidas de dos de sus lados y la delángulo entre ellos, cada estudiante determinará correctamente la medida de:
El lado que falta.
Los ángulos que faltan.
Presentadas diferentes situaciones con triángulos, cadaestudiante identificará aquellas que se pueden resolver con la ley de cosenos.
Introducción

Considera el triángulo ABC con lados a, b , c y altura AD, mostrado en la siguiente figura:

triangle

En el triángulo rectángulo ADC tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras:
b2 = AD2 + DC2 (1)
Por otro lado, como vimos en Trigonometría de Triángulos Rectángulos:
cos C = ACb
de donde AC = b cosC (2)
En el triángulo rectángulo ABD tenemos lo siguiente:

Por el teorema de Pitágoras: c 2 = AD 2 + BD 2
c 2 = AD 2 + ( a − CD ) 2
elevando al cuadrado c 2 = AD 2 + ( a 2 − 2 a CD + CD 2 )
reagrupando c 2 = a 2 + ( AD 2 + CD 2 ) − 2 a CD
utilizando los resultados (1) y (2) obtenidos arriba c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C
Podemos aplicar el mismo procedimiento utilizando las alturas a los otroslados del triángulo para obtener los resultados análogos.

Este resultado se conoce como la Ley de Cosenos. En esta lección utilzaremos la La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y aprenderemos a reconocer las situaciones en las que es posible aplicarla.

Ley de Cosenos

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple:

triangle
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cosB

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C





Aplicación sobre la ley de Cosenos.


El capitán de un barco divisa no muy lejos de su posición una isla y un avión.

Éste calcula de manera aproximada las distancias del barco a la isla y al avión y ángulo que se forma entre el avión, el barco y la isla, tal y como se muestra en el siguiente applet.

El capitán desea estimar la distancia entre el avión y laisla, observa en el applet como el capitán podría resolver su dilema.

Desplaza el avión y observa como los datos varían.



Usando la Ley de Cosenos para Conseguir un lado de un Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

ex1lal

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:ex1lal
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

x 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x 2 = 100 + 36 + 60

x 2 = 196

x = 14

Ejemplo 2:

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

ex1lal

Solución:

Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

ex1lal
b 2 =a 2 + c 2 − 2 a c cos B

x 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x 2 = 36 + 100 − 120 2 2

x 2 = 136 − 602

x 2 ≈ 51.15

x ≈ 7.15



Cuando conocemos dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos, siempre es posible encontrar el tercer lado aplicando la Ley de Cosenos.
Es importante notar que cuando aplicamos la ley de cosenos no hay ambigüedad en el resultado del ángulo. Como sabemos, un ángulode un triángulo puede medir a lo más 180°. Así, si el coseno del ángulo es positivo sabemos que está en el primer cuadrante, es decir, entre 0° y 90°. Si el coseno del ángulo es negativo sabemos que está en el segundo cuadrante, es decir, entre 90° y 180°.


Usando la Ley de Cosenos para Conseguir los ángulos del Triángulo

Ejemplo 1:

En el triángulo de la figura, hallar los ángulos x y yex1lal

Solución:

Como conocemos los tres lados del triángulo, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

ex1lal
Hallando x

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

12 2 = 6 2 + 14 2 − 2 ( 6 ) ( 14 ) cos x

144 = 36 + 196 − 168 cos x

168 cos x = 36 + 196 − 144

cos x = 88168

x ≈ 58.41°


Hallando y

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

14 2 = 12 2 + 6 2 − 2 ( 12 ) ( 6 ) cos y

196 = 144 + 36 − 144 cos y

144...