Composicion de funciones

Composición de funciones.
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D
x f(x) = y
Elsubconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valoresreales que toma la variable y o f(x).
x

Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.
R = {f (x) / x D}

Función exponencial

Funciones exponenciales |

Gráfica de Funciones exponenciales |
Definición | |
Tipo | Funciónreal |
Dominio | |
Codominio | |
Imagen | |
Propiedades | Biyectiva
Convexa
Estrictamente creciente
Trascendente |
Cálculo infinitesimal |
Derivada | |
Función primitiva | |
Función inversa | |
Límites |
|
Funciones relacionadas | Logaritmo |
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipoexponencial en base a si tiene la forma

siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
* |
Definición formal
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite dela sucesión:

[editar] Propiedades
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
* Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
*
*
*
*
* su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞
[editar] Derivada
La importancia delas funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
* La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de lafunción en ese punto.
* La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
* La función es solución de la ecuación diferencial .
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:

donde la función ln denota el logaritmo natural.
[editar] Función exponencial en el campo de los númeroscomplejos

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos

Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de...