Composicon de funciuones

Elaborado por: Lic. Eleazar J. García Tinaco.- Estado Cojedes. Venezuela Teoría de Conjunto y de Funciones
Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos y está destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y que serán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos. Estudiaremos las operaciones: inclusión, intersección,diferencia de conjuntos, etc., en conjuntos dados y luego extenderemos esos conceptos al conjunto de los números reales donde algunas de las operaciones son una herramienta imprescindible para calcular el dominio de funciones reales de una variable real. Seguidamente, abordaremos el estudio de funciones definidas en cualquier conjunto para luego definir lo que se conoce como función real de unavariable real, determinaremos el dominio de funciones sencillas y de funciones compuestas. 1.1. Conjunto: La noción de conjunto es acepta como sinónimo de las nociones usual de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”. Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A,entonces usamos la palabra elementos del conjunto A. 1.2. Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un determinado objeto a un determinado conjunto. Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas: a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de uncriterio para afirmar que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “ ∈ ” escribiendo a ∈ X, el cual se lee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X se usa el símbolo de no pertenencia “∉”, así escribimos a∉X, el cual se lee “a no pertenece a X” o “ano es elemento de X”. b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es decir, no es aceptado que pueda suceder a ∈ a. 1.3. Formas de expresar los conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de las siguientes formas: 1.3.1. Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos. Ejemplos 1.1. A = {a, e, i, o, u} B = {0,1, 2, 3, 4,5} C = {−3, −2, −1,0,1, 2, 3, 4,5}

D = {−4, −2, 0,, 2, 4, 6} E = {Venezuela, Colombia, Ecuador , Bolivia, Perú} .
1.3.2. Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza a sus elementos. Ejemplos 1.2.
A = {Las vocales} B = { x ∈ ℕ / 0 ≤ x ≤ 5} C = { x ∈ Z / −3 ≤ x ≤ 5} D = { x ∈ ℤ / − 4 ≤ x ≤ 6 ∧ x es múltiplo 2} E = {Paises libertados por Simón Bolívar} . Como podemos observar en los ejemplos1.1, se nombran los todos elementos de cada conjunto, mientras que en los ejemplos 1.2 se indicó la característica común a los elementos de cada conjunto.

1.4. Ejercicios propuestos A. Expreselos siguientes conjuntos por comprensión :
A = {−5, −1, −2, −4, −3, 0, 4,1,3, 2} B = {−1, 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8} C = {2, 4, 6,8,10,12} D = {3, 6,9,12,15,18, 21} E = {4,8,12,16, 20, 24, 28} Exprese lossiguientes conjuntos porextensión : F = { x ∈ Z / −8 ≤ x ≤ −3} G = { x ∈ Z / − 7 < x < 12} 2 H = { x / x es par ∧ 9 < x ≤ 20} I = { x / x es múltiplo de 3 ∧ 6 ≤ x < 31} J = { x ∈ ℕ / 5 < x < 18} 2 Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales pueden generar otros conjuntos. Consideramos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada inclusión.

1.5. Inclusión deun conjunto en otro: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A está incluido en el conjunto B si se verifica que cada elemento de A pertenece a B. Esto se indica de la manera siguiente A ⊂ B, que se lee A es un subconjunto de B.
A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

Veamos ésta relación en un diagrama de Venn.

A⊂B
A B

Ejemplo 1.3. Si A = {0, 3, 4, 1} y B = {0,1, 2, 3, 4}, como cada elemento del...