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DETERMINACION DE LA ECUACIÓN
DE LA PARABOLA Y SU GRAFICA

DEFINICION: La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se denomina “foco” y la recta fija “directriz” de una parábola.


ELEMENTOS DE UNA PARABOLA




FIGURA 1



Sidesignamos al “foco” y la “directriz” de una parábola por “F” y “l ” respectivamente; la recta “a” que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se denomina “Eje focal” o “Eje de la parábola”; sea “A” el “punto de intersección” del eje de la parábola y la directriz; el punto “V”, es el punto medio del segmento AF y por definición esta sobre la parábola, dicho punto se denomina “vértice”; seaBB’ el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola, se denomina “cuerda”; particularmente si una cuerda pasa por el foco, tal como CC’, se denomina “cuerda focal”; si la cuerda focal es perpendicular al eje de la parábola, tal como LL’, se denomina “ lado recto”; sea P un punto cualesquiera de la parábola y la recta FP que une al foco con dicho punto, se denomina“radio focal de P” o “radio vector”. (figura 1)


ECUACION DE LA PARABOLA DE VERTICE EN EL ORIGEN Y UN EJE COORDENADO.- Si consideramos la parábola de vértice y cuyo eje coincide con el eje “x” (figura 2).



FIGURA 2



Como el foco esta sobre el eje “x”, sus coordenadas son F (p, 0); la ecuación de la directriz “l” es por definiciónde parábolas x = -p.
Si P(x, y) en un punto cualquiera de la parábola por el que se traza el segmento PA perpendicular a la directriz; en base a la definición de parábola, dicho punto debe satisfacer la condición geométrica de: ׀ FP ׀ = ׀PA׀.

Aplicando la ecuación de distancia entre dos puntos, tenemos:

׀FP׀=√ (x-p)² + (y-0-)² = √ (x-p)² + y²

Aplicando la ecuación de distancia de unarecta a un punto, tenemos:

׀PA׀ = ׀ x + p׀

Analíticamente, la condición geométrica se representa por:

׀FP׀ = ׀PA׀

√(x-p)² + y² = ׀x +p׀

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación anterior y simplificando, resulta:

(√( x-p )² + y² )²)= (׀x+p׀)²
( x-p )² + y² = x² + 2px + p²
x² - 2px + p² + y² = x² + 2px + p²
y²= x² + 2px + p² - x² + 2px - p²
y² = 4px

Siextraemos raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación anterior, obtenemos:

√y² = √4px
y= ± 2 √px

Para valores reales y diferentes de cero de la variable “y”, los valores de “p” y “x” deben ser del mismo signo, por lo anterior se consideran dos casos:

FIGURA A

1.- Si p>0, no deben tomarse en cuenta los valores negativos de “x”; por lo que, la parábola se abre a la derecha del eje “y” y seextiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje “x”. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y² = 4px; las coordenadas de su foco son F ( p, 0) y la ecuación de su directriz es x = -p (figura A).















FIGURA B


2.- Si p0, no deben tomarse en cuenta los valores negativos de “y”; por lo que, la parábola se abre hacia arriba del eje “x” y seextiende indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda del eje “y”. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es x² = 4py; las coordenadas de su foco son F (0, p) y la ecuación de su directriz es y = -p (figura C).
4.- Si P0, la parábola se abre hacia la derecha; cuando p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Considerando la parábola de la figura 5, tenemos que su vértice es el puntoV (h, k) y cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las “y”; si transportamos los ejes del sistema coordenado haciendo que el nuevo origen (O’) coincida con la parábola, establecemos que la ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes coordenados x’ y y’, es:

x’2 = 4py’ (2)













Por el principio de la transportación de ejes coordenados, expresado...