computacon

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales M´ltiples
u
Manuel Almeida V.

10 de enero de 2012

Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales Dobles

Secci´n 1
o
Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Secci´n 2
o
Teorema de Fubini
Ejemplos de Evaluaci´n de integrales dobles
o

Manuel Almeida V.

IntegralesM´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales Dobles

Nos introducimos al estudio de las integrales dobles considerando
una regi´n rect´ngular en el plano.
o
a

Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre unaRegi´n
o

Dada la funci´nf (x, y ) definida en una regi´n rect´ngular
o
o
a

Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n
o

Dada la funci´nf (x, y ) definida en una regi´n rect´ngular
o
o
a
R = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Manuel Almeida V.

IntegralesM´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n
o

Dada la funci´nf (x, y ) definida en una regi´n rect´ngular
o
o
a
R = {(x, y )|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Subdividimos R en peque˜os rect´ngulos de ancho x y altura
n
a
y cuya ´rea es A = x y . Si numeramos las ´reas
a
a
tendriamos A1 , A2 , ..., An .Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o

Para formar una suma de Riemann sobre R, elegimos un punto
(xk , yk ) en el k-esimo rect´ngulo, multiplicamos el valor de f en
a
ese punto por el ´rea Ak , y sumamos los productos
a

Manuel Almeida V.Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o

Para formar una suma de Riemann sobre R, elegimos un punto
(xk , yk ) en el k-esimo rect´ngulo, multiplicamos el valor de f en
a
ese punto por el ´rea Ak , y sumamos los productos
a
Sn = Σn f (xk , yk ) Ak
k=1

Manuel Almeida V.Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o

Para formar una suma de Riemann sobre R, elegimos un punto
(xk , yk ) en el k-esimo rect´ngulo, multiplicamos el valor de f en
a
ese punto por el ´rea Ak , y sumamos los productos
a
Sn = Σn f (xk , yk ) Ak
k=1
Dependiendo de laelecci´n de (xk , yk ) en el k-esimo elemento de
o
´rea, obtenemos distintas aproximaciones de Sn
a

Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o
Nos interesa saber qu´ pasa con las sumas de Riemann cuando los
e
xk y yk tienden a cero, esto es Ak tambi´n tiende acero.
e
esto es,

Manuel Almeida V.

Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o
Nos interesa saber qu´ pasa con las sumas de Riemann cuando los
e
xk y yk tienden a cero, esto es Ak tambi´n tiende a cero.
e
esto es,
limn→∞ Σn f (xk , yk ) Ak
k=1

Manuel Almeida V.Integrales M´ltiples
u

Secci´n 1
o
Secci´n 2
o

Integrales sobre una Regi´n
o
Integral Doble como Volumen

Integrales sobre una Regi´n cont...
o
Nos interesa saber qu´ pasa con las sumas de Riemann cuando los
e
xk y yk tienden a cero, esto es Ak tambi´n tiende a cero.
e
esto es,
limn→∞ Σn f (xk , yk ) Ak
k=1
cuando el l´
ımite existe de las sumas Sn , se dice que la...