Comunicaciones Analogicas

1.- Demostrar que en el intervalo de la función:

Es ortogonal a las señales
Respuesta:
La ortogonalidad entre funciones en un intervalo queda determinada por la condición:

Donde:
Representa el complejo conjugado de
Y en el que el caso que

Entonces sabiendo esto, tenemos lo siguiente:

Tomamos dos funciones cualesquiera

Para tenemos lo siguiente

Como es un número lopodemos hacer que , y lo mismo con podemos hacer que , resultando

Sabiendo que y tomando en cuenta que el seno con múltiplos de también es cero, la expresión anterior nos da como resultado cero.

2.- Demostrar que si las señales son ortogonales en el intervalo , entonces la energía es igual a la suma de las energías .
Respuesta:

Como sabemos que las señales son ortogonales en elintervalo , entonces la integral o esa área bajo la curva es igual a cero, quedando

Si calculáramos la energía de cada una de las señales nos resultaría


Y si las sumamos nos resultara lo mismo que la energía de .
3.- Clasifique las siguientes señales como señales de energía o de potencia, y encuentre la energía o potencia normalizada de cada una (todas las señales se definen en ).
a) 4Respuesta
Al ser una señal continua se intuye que es potencia, por lo tanto se calculara como potencia y es de esperarse un valor.


b)
Respuesta
Como esta función es una función periódica, entonces de antemano sabemos que es Potencia, por lo cual calcularemos la potencia.

Aplicando la identidad trigonométrica siguiente

Nos queda de la siguiente manera

Como la integral del seno esun periodo sabemos que esa área es igual a cero, por lo tanto sólo nos queda

c)
Respuesta
Esta función al no ser periódica o continua siguiere ser Energía, por lo que se calculara la Energía y esperaremos que el resultado sea .

Pero como la función es par la energía la podemos calcular de la siguiente manera

Pero una exponencial decreciente que tiende a infinito es cero solo nosqueda lo siguiente

d)
Respuesta
Se ve que la señal es periódica, por lo cual se calculara su potencia y tenemos que obtener un valor finito.


e)
Respuesta
La señal se ve que es energía, por lo cual se calculara su energía y es de esperarse un número finito.



4.- Determine si las siguientes señales son periódicas. Si una señal es periódica, determine su periodo.
a)
Respuesta

Yaplicando la propiedad nos queda lo siguiente

Podemos proponer un periodo el cual sea y sustituyéndola nos queda de lo siguiente


Con lo cual comprobamos que el periodo es correcto siendo la función periódica.
b)
Respuesta
En la señal se nota un desfasamiento de el cual no le quita la periodicidad a la señal, y podemos expresarla con la relación de Euler de la siguiente manera

Sise puede expresar como un número racional entonces , entonces tenemos

Con lo cual podemos sacar el periodo de cada uno de los miembros de la resta



c)
Respuesta
Usando la identidad podemos expresar la función como

De una respuesta anterior donde obtuvimos que del podemos decir que

d)
Respuesta
La señal se ve que no es periódica ya que como el argumento se eleva al cuadradose ve que la frecuencia aumentara mientras los valores se alejan del cero en ambos lados (positivo y negativo), por lo tanto esta señal no es periódica.



5.- Un conjunto de tres funciones es

a) Demuestre que estas señales son otogonales entre sí en el intervalo .
Respuesta





b) Representar la señal





Puesto que forma un espacio ortogonal en el intervalo de entoncesSabemos que





7.- Determine la representación en serie de Fourier trigonométrica para la señal

Respuesta
Para la serie trigonométrica de Fourier se necesita calcular

Como la función es par, podemos escribirla de la siguiente manera

Y tomando en cuenta que nos resulta


Como la función es par, podemos escribirla de la siguiente manera


Tomando en cuenta que nos...