comunicaciones

Análisis de Señales en Geofísica
10° Clase
Transformada de Hilbert

Función Signo
Se define la función signo sgn(t ) como:
⎧+1
sgn(t ) = ⎨
⎩−1

si
si

t≥0
t 0
si Ω < 0

Dada una función en tiempo cuya parte imaginaria sea igual a menos la transformada
de Hilbert de su parte real, su transformada de Fourier será causal.
Análogamente, si una función temporal es causal, la partereal e imaginaria de su
transformada de Fourier estarán vinculadas por la transformada de Hilbert.
Transformada de Hilbert

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La Función Envolvente
Se define a la envolvente E (t ) de una función f (t ) como el módulo de su función
analítica:
E (t ) = g (t ) =

f (t ) 2 + ( HT { f (t )} )

2

En aquellos puntos donde la función y su envolvente se tocan, la envolvente E (t )
serátangente a la función f (t ). Dado que la envolvente es claramente mayor o
igual que la función en todo punto, la envolvente circunscribe a la función,
propiedad que le da su nombre.

Transformada de Hilbert

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Transformada Generalizada
de Hilbert
Aplicar un adelanto arbitrario de la fase ε , es decir multiplicar en el dominio de
las frecuencias por eiε ×sgn( Ω ) , es conocido comotransformada generalizada de
Hilbert:
GHT { f (t ), ε } = cos ( ε ) × f (t ) + sin ( ε ) × HT { f (t )}
f (t ) = cos ( ε ) × f (t ) + sin ( ε ) × f 2 (t )
ε

π

Es fácil de ver que la aplicación de la transformada generalizada de Hilbert no
modifica a la función envolvente. Es decir que la función envolvente de f (t ),
circunscribirá a todas las funciones f ε (t ) que se obtenganaplicando un adelanto
constante y arbitrario de la fase.
Transformada de Hilbert

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Amplitud, Fase y
Frecuencias Instantáneas
La amplitud instantánea de una señal no es otra cosa que la función envolvente E (t ).
Se define a la fase instantánea ϕinst . (t) de una señal f (t ) como:
⎛ f 2 (t ) ⎞
ϕinst (t ) = − arctg ⎜
⎟
⎜ f (t ) ⎟
⎝
⎠
π

La función y su transformada de Hilbert sepueden expresar en función de la
envolvente y de la fase instantánea del siguiente modo:
f (t ) = E (t ) × cos (ϕinst . (t ) )
f 2 (t ) = − E (t ) × sin (ϕinst . (t ) )
π

La frecuencia instantánea está dada por la derivada de la fase instantánea respecto del
tiempo:
Transformada de Hilbert

Ωinst . (t ) =

dϕinst .
dt

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Descomposición Par / Impar
Toda función f (t ) se puededescomponer como la suma de una función par f p (t ), más
una función impar fi (t ) :
Donde:

f (t ) = f p (t ) + fi (t )
f (t ) + f (−t )
⎧
f p (t ) =
⎪
⎪
2
⎨
⎪ f (t ) = f (t ) − f (−t )
⎪ i
2
⎩

Si f (t ) es una función real, cuya transformada de Fourier está dada por:
FT { f (t )} = F (Ω) = Re{ F (Ω)} + i Im { F (Ω)}
Entonces por las propiedades de simetría de la transformada deFourier:

Transformada de Hilbert

⎧Re { F (Ω)} = FT { f p (t )} = Fp (Ω)
⎪
⎨
⎪i Im { F (Ω)} = FT { fi (t )} = Fi (Ω)
⎩

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Espectro de una
Función Real y Causal
Si f (t ) es una señal real y causal,
es fácil de ver que:
f p (t ) = sgn(t ) × fi (t )
fi (t ) = sgn(t ) × f p (t )

Transformada de Hilbert

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Espectro de una
Función Real y Causal
Si f (t ) es una señalreal y causal, entonces:
f p (t ) = sgn(t ) × f i (t )
fi (t ) = sgn(t ) × f p (t )
Tomando transformada de Fourier a esta ecuaciones, teniendo en cuenta que
2
sgn(t ) ⇔
, obtenemos:
2
iΩ
* Fi (Ω)
Fp (Ω) =
iΩ
2
* Fp (Ω)
Fi (Ω) =
iΩ
La TF de las funciones pares e impares son iguales a la parte real y a la parte imaginaria
respectivamente, de la TF de la función original, entoncesobtenemos:
2
Re F (Ω) =
* i Im F (Ω)
iΩ
2
i Im F (Ω) =
* Re(Ω)
iΩ
Transformada de Hilbert
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Espectro de una
Función Real y Causal
2
* i Im F (Ω)
iΩ
2
i Im F (Ω) =
* Re(Ω)
iΩ
Teniendo en cuenta que cuando convolucionamos en el dominio de las frecuencias nos
Re F (Ω) =

aparece un factor 1 2π , obtenemos:
+∞
1 Im F (υ )
Re F (Ω) = ∫
dυ = − HT {Im F (Ω)}
π −∞ Ω − υ
Im...