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ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO


Introducción
El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an

Algunos ejemplos ilustran lo anterior:
a) Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?b) De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 maquinas distintas?
c) Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?


Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación

FACTORIAL DE UN NUMERO n
La expresión n! se le llama n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:

n! = n(n-1) (n-2)….. (1)Ej: 5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880

Propiedades:
0! =1

n! = n(n-1)!

n! = n(n-1) (n-2)

Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:

1. VARIACIONES
2. PERMUTACIIONES
3. COMBINACIONES



1. Variaciones:
Dado elconjunto de n elementos se llaman variaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos variaciones son diferentes cuando:
i) Tienen al menos un elemento diferente entre ellas o
ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.

Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:
(Juan, Pedro, José, Joe y Erik)será diferente del equipo
(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?

Un vehiculo de (19) millones es lo mismo que un vehiculo de (91) millones?

Ejemplo:
Sea el conjunto , cuantas variaciones de orden dos se pueden obtener?

Variaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6
También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)

1.1 CALCULO DE LAS VARIACIONESSIN REPETICION:

Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.

V(n, r) = n! / (n-r)! r n

1.2 CALCULO DE LAS VARIACIONES CON REPETICION:

V` (n, r) = nr


Ejemplos:

1. Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

Haciendo n = 9 y r= 4 se tiene que:

V (9,4) = 9! /(9-4)! = 9! / 5! = 3024 números


2. Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?


n = 9; r = 4 V´ (9,4) = (9)4 = 6561 números

3. El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras


a) Cuantas placas puede hacerse si los números y las letras pueden repetirse?b) Si los numero pueden repetirse y las letras no?

c) Si los números no pueden repetirse y las letras si?

d) Si los números y las letras no pueden repetirse?



SOLUCION:

Asumiendo 27 letras de nuestro alfabeto se tiene:

a) Una placa puede ser O también


Así las letras se obtiene a través de VARIACIONES CON REPETICION: V`(26,3) = 263 = 17576


De la misma forma para losnúmeros: V´ (10,3) = 103 = 1000 números

Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 17576 x 1000 = 17.576.000

b) Para los números V´(10,3) = 10 3 = 1000

Como las letras pueden repetirse entonces es una variación sin repetición: V (26,3) = 26! / (26-3)! = 15600

Por el principio de multiplicación: 1000 x 15600 = 15.600.000 placas.


Dado que los números no puedenrepetirse, entonces:

V (10,3) = 10! / (10-3)! = 101 / 7! = 720


Para las letras V´ (26,3) = 263 = 17576



c) Por el principio de multiplicación 720 x 17576 = 12.654.720 placas


Resuelva el numeral (d)

Si solo dos letras pueden repetirse Ej: y los números son diferentes, cuantas placas pueden obtenerse?


2. PERMUTACIONES

Una permutación es también una variación donde n = r...