Conbinatoria

Conceptos de combinatoria
En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Población
Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.
2. Muestra
Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienendeterminados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.
Factorial de un número natural
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.


Ejemplo
Calcular factorial de 5.


VARIACIÓN
Sellama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por
Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5n = 3 m ≥ n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con losdígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 6n = 3 m ≥ n
Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2

4. A unconcurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit.¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
m = 10n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta unasola obra.

VARIACIÓN CON REPETICIÓN
Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

Ejemplos
1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2,3, 4, 5 ?
m = 5 n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
m = 6 n = 3
Tenemos que separar el número en dos bloques:

Elprimer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares).
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?
m= 3 n = 15 m < n
Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

PERMUTACIÓN
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos....