Concavidad y puntos de inflexión

Concavidad y puntos de inflexión

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se haránalgunas observaciones de tipo intuitivo.

Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1.

Igualmentese observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.

I. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c se cumple que:

yc: y de la curva ; yt: y de la tangente


Teorema Condición suficiente para la existencia deconcavidad positiva
Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.

H) f''(a)>0
T) f tiene concavidad positiva en x=a
Demostración:
Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.
Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g''(x) = f''(x)
g''(a) = f''(a) > 0 => porCond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a
* Por def. de crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0
signo de g'(x):
- 0 +
-------|-------
a
*Por Condición suficiente para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo enx=a.
*Por definición de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.
f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0
f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positiva en x=a.
Teorema Condición suficiente para la existencia de concavidad negativa
Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidadnegativa en dicho punto.

H) f''(a) < 0
T) f tiene concavidad negativa en x=a
La demostración es análoga a la anterior.
Teorema Condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión
H) La derivada segunda de f(x) es negativa en un semientorno del punto a y positiva en el otro semientorno
T) f presenta un punto de inflexión en x=a

Demostración:
Sea g(x) = f(x) -f'(a)(x - a) - f(a)
g es derivable y continua en x=a.
g'(x) = f'(x) - f'(a)
g'(a) = 0
g''(x) = f''(x) =>
signo de g''(x):
- +
-------|-------
a
* Por condición suficiente para la existencia de mínimo relativo g' presenta un mínimo relativo en a
*Por definición de mínimo relativo, existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g'(x) > g'(a) = 0
signo de g'(x):+ 0 +
-------|-------
a
=> g es creciente en a

La tangente a g en x=a es horizontal, pero igual g es creciente. La gráfica de g cerca de a es algo como
por def. de crecimiento puntual, existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) g(x) < g(a) = 0
=> f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) < 0 => f(x) < f'(a)(x-a) + f(a)
y para todo x perteneciente a (a,a...