Concepto De Dualidad

CONCEPTUALIZACION DE LA DUALIDAD - CASO 1
Una compañía produce dos tipos de artículo; la unidad del tipo 1 se vende a $106 y la del tipo 2 a $144.
Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de mano de obra en el departamento de ensamble, 1800 en el departamento de revisión y con 1000 en el departamento de empaque.
El número de minutos requeridos en cada departamento para lafabricación de una unidad de cada uno de los artículos se da en la siguiente tabla:
Tipo de producto Operación
Ensamble Revision Empaque
Tipo 1 3 2 1
Tipo 2 2 3 2
El pago por minuto es de $10 a los trabajadores del departamento de ensamble, $8 a los de revisión y de $20 a los del departamento de empaque.
El administrador de la empresa desea determinar cuál es el programa deproducción que maximiza la utilidad total en el mes.
Construcción del modelo
Definamos a Xi como el número de artículos de tipo i que se deben producir mensualmente.
Para plantear la función del objetivo calculemos primero la utilidad unitaria de cada tipo de artículo, así:
Tipo de producto
Tipo 1 Tipo 2
Precio de venta 106 144
- Costo de produccion 66 84
Costo deensamble 3(10)=30 2(10)=20
Costo de revisión 2(8)=16 3(8)=24
Costo de empaque 1(20)=20 2(20)
66 84
Utilidad Unitaria $40 $60
de manera que el modelo de programación lineal para este problema es:
Maximizar Utilidad = 40X1 + 60X2
Sujeto a : 3X1 +2X2 < 2000 (Minuto de ensamble)
2X1 +3X2 < 1800 (Minuto de revision)1X1 +2X2 < 1000 (Minutos de empaque)

con X1,X2 ≥ 0
Si utilizamos el winqsb para resolver el modelo obtenemos el siguiente reporte combinado
lo cual indica que el programa óptimo consiste en producir mensualmente 500 unidades del producto tipo 1 y 250 del producto tipo 2, obteniendo una ganancia de $35 000 mensuales.
Observamos que hay 50 minutosde holgura en la operación de revisión (slack = 50), mientras que no hay sobrante en los minutos disponibles para las otras operaciones, ya que las variables de holgura de las restricciones correspondientes valen cero; por lo cual concluimos que en este programa de producción se consumen todos los minutos de ensamble y en empaque que tiene disponibles la empresa. Precisamente el agotamiento delos minutos disponibles en esas operaciones es el que impide que las variables X1 y X2 puedan tomar un valor superior, para maximizar aún mas el valor de la función del objetivo.
Efectuando el balance entre los ingresos por ventas y los costos de producción, podemos verificar que la utilidad obtenida es efectivamente de $35 000:
Ingresos por ventas 500(106) + 250(144) = 89.000
- Costos deproduccion 2000(10) + 1750(8) +1000(20) =54.000
= Utilidad
=35.000
Como se acaba de decir no se pueden fabricar más artículos ya que se agotaron los recursos, pero aparece entonces la inquietud de que si fuera posible disponer de minutos adicionales en alguno de los departamentos del proceso, se pudieran fabricar más artículos aumentando así las utilidades del periodo.Con el fin de conocer cómo varía la utilidad (y la solución) al aumentar la disponibilidad de cada recurso, vamos a efectuar cálculos para tres situaciones diferentes. Primera, cuando consideramos que se aumenta en un minuto la capacidad de ensamble mientras los minutos de revisión y de empaque permanecen constantes, segunda cuando aumentamos en un minuto la capacidad de empaque, pero mantenemosinvariable la capacidad de revisión y de ensamble y finalmente cuando aumentamos en uno los minutos de revisión, dejando invariable la cantidad de minutos de ensamble y de empaque.
Aumento en la capacidad de ensamble
Al aumentar en un minuto la capacidad de ensamble, el modelo queda:
Maximizar Utilidad = 40X1 + 60X2
Sujeto a : 3X1 +2X2 < 2001
2X1 +3X2 < 1800...