concepto de limite y Literatura ascética

CONCEPTO DE LÍMITE
 
El límite de la función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor a. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a a.
 
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a a, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existeun número positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de a que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .
 

 
Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Paraestudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.
 
La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser único. Además, toda función que tiene límite enun punto está acotada en un entorno de ese punto.
 
Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
Calcular los siguientes límites:
1

2

3

4En los puntos x = -1 y x =1
LIMITES LATERALES
 
LÍMITE POR LA DERECHA
  
El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.
 

 
 
LÍMITE POR LA IZQUIERDA
 
El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:
si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.
 

Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden,existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
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Propiedades de los límites
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de Expresión
Una constante
La función identidad
El producto deuna función y una constante
Una suma
Una resta
Un producto
Un cociente
Una potencia
Un logaritmo
El número e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal.
Límites de funciones indeterminada: En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
.
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite defunciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.
Ejemplo. Halle 
Al sustituir, resulta  y  lo que genera una indeterminación del tipo.
Sin embargo, como  si x  3, resulta que la función  coincide con la función (x + 3) salvo en x  3.
Como interesa analizar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3 (por izquierda y por derecha), es posible determinar elcomportamiento de  analizando el de la función (x + 3).
Por lo tanto puede decirse que 
 
Funciones racionales
En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos losvalores de x que no anulen el denominador.1 Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas...