Conceptos básicos de Ecuaciones diferenciales

Capítulo 2
Conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales (ED)
En este capítulo se enuncian los conceptos generales sobre ecuaciones diferenciales (ED) que serán utilizados en esta obra. Una vez más recordamos que la siguiente simbología es parte del contexto:



es un intervalo abierto de números reales
son funciones reales de variable real
2.1. Introducción
A grossomodo, una ecuación se denomina diferencial si tiene al menos una derivada o diferencial de alguna función desconocida a la cual llamaremos incógnita. La ED es ordinaria si todas las funciones que aparecen en ella (conocidas ó incógnitas) dependen de una única variable independiente que solemos denotar con o . En el otro caso en que las incógnitas son funciones de varias variables, la ED se denominaparcial. Todas las ED tratadas en esta obra son ordinarias, palabra que omitiremos para evitar repeticiones innecesarias. Las funciones incógnitas se denotan con o simplemente con . No consideramos que sean ecuaciones diferenciales las identidades como:

Una solución de una ED es una función conocida que pueda ocupar la posición de la incógnita sin que produzca indefiniciones y que al hacerloreduce la ecuación a una identidad para todo en su dominio.
Los métodos para obtener las soluciones de las ED que se expondrán en esta obra, han sido utilizados durante siglos, por esto se denominan clásicos. Enunciaremos teoremas de existencia de soluciones de algunas ED, sin embargo, aún cuando existan soluciones podría no existir un método para determinarlas, además, la elección del métodopara obtener las soluciones depende de las características de la ED.
Un elemento determinante es el orden de la ED, el cual coincide con el mayor orden de derivada con que se presenta la incógnita en la ED. La teoría de ED de primer orden ha alcanzado niveles de desarrollo muy altos y son muchas las aplicaciones que se pueden modelar con ellas. No se puede decir lo mismo, de la teoría de las EDcon orden mayor que uno, a menos que sean lineales, las cuales modelan una cantidad importante de aplicaciones, principalmente las ED lineales de orden dos. Desde esa perspectiva esta obra se divide en dos partes, cuales son: ED de primer orden (lineales o no) y ED lineales de orden superior.
Con respecto a las variables que utilizaremos en las ED, por lo general es la independiente, o bien enlos sistemas de ecuaciones diferenciales o en aplicaciones con el tiempo. Ni ni no son incógnitas, salvo en los sistemas de ecuaciones en que suele formar parte de las funciones incógnitas. La función incógnita en una ED suele denotarse con la letra (1), y debemos advertir que también se utiliza para denotar soluciones, sin embargo, no se prestará a confusión porque el contexto será muy clarosobre el rol de . Las soluciones también se denotan con , , , etc, u otros nombres usuales para funciones.
El dominio de una ED de orden es el conjunto de valores de sobre el cual las funciones conocidas que forman parte de la ED son continuas, las soluciones tienen derivadas de orden continuas y la expresión que se obtiene al sustituir la supuesta solución en la ED está bien definida.Ejemplos 2.1
E1) con constantes y
Esta es la ecuación algebraica de una función con variable independiente , es decir, puede tomar cualquier valor en el dominio de la función y como la función es una parábola su máximo dominio es el conjunto de los números reales. Por su parte es una variable dependiente de. La ecuación no tiene incógnitas.
E2) con
Si en E1) considera el problema , esdecir, determinar los puntos en que la función corta al eje , obtiene la ecuación algebraica E2), por lo tanto, dejó de ser independiente y ahora es incógnita. Debiéramos utilizar otra letra en el lugar de para no confundir la variable independiente con la incógnita, por ejemplo, si la incógnita es puede plantear la ecuación E2) como:

Con la fórmula general para despejar ecuaciones cuadráticas...