Conceptos básicos de matematicas

CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS






















UNA NOTA PREVIA

Estos apuntes contienen una versión resumida de los conceptos matemáticos mínimos para seguir la asignatura de Ingeniería Geoambiental. En particular, se revisan conceptos de Teoría de Campos y Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs). Estos conceptos han sido objeto de asignaturas anteriores(singularmente, las matemáticas y mecánicas de medios continuos de 2º y 3º). Sin embargo, es frecuente que aún queden cosas sin aclarar. El objetivo de estas notas es forzar una revisión rápida para refrescar y volver a pensar todos esos conceptos y para facilitar el seguimiento del resto de la asignatura. No se pretende enseñar dichos conceptos. En particular, se ha eliminado todo asomo de rigormatemático. Dicho rigor es necesario cuando se quiere trabajar con campos y ecuaciones diferenciales. Todas las definiciones, propiedades y teoremas que se presentan suponen superficies y campos ideales. En la realidad no lo son. Por ello, estos apuntes sirven para seguir la asignatura, pero no necesariamente para trabajar con campos y EDPs.Índice

1 Campos 1
1.1 Definición de campo 1
1.2 Coordenadas. Cambio de coordenadas 2
1.3 Campos escalares 5
1.4 Campo vectorial 6
1.5 Campo tensorial 7
2 Operadores diferenciales 8
2.1 Operador nabla 8
2.2 Gradiente 8
2.3 Divergencia 9
2.4 Rotacional 10
2.5 Laplaciano 11
2.6 Operadores tensoriales: jacobiano y hessiano 12
3 Teoremas integrales 13
3.1 Flujo. Teorema de ladivergencia 13
3.2 Identidades de Green 14
3.3 Circulación. Teoremas de Stokes y de Green 14
4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE 15
4.1 Introducción 15
4.2 El término de acumulación (fuentes/sumideros independientes del estado) 15
4.3 Termino de desintegración y reacciones de primer orden 16
4.4 Ecuaciones diferenciales lineales 17
4.5 El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas de primer orden19
4.6 El término difusivo. Ecuaciones parabólicas 21
4.7 Soluciones a la ecuación de transporte 26


1 CAMPOS
El tratamiento de cualquier fenómeno físico requiere el empleo de funciones. En Ciencias Naturales el concepto de función es idéntico al de las matemáticas (aplicación de un espacio en otro), pero con unidades. Un caso muy importante de funciones son las que están definidas sobreel Espacio Geométrico Ordinario (EGO); a las que llamaremos campos. Las emplearemos para definir el estado de un sistema (p. ej., temperatura, presión o similares) o sus propiedades (p. ej., densidad, porosidad o similares). En este apartado se define formalmente el concepto de campo y los distintos tipos de campos.
1.1 Definición de campo
Un campo es una función definida sobre el EGO. Es decir,(1.1)

En esta definición, se debe entender que el espacio origen es el EGO. Con frecuencia trabajaremos con dimensiones menores. Por ejemplo, en acuíferos es habitual trabajar en dos dimensiones y en ríos es normal trabajar con una sola dimensión ( ) representativa de la longitud a lo largo del río. En ambos casos, sin embargo, debe entenderse la reducción de dimensión como unasimplificación de una realidad tridimensional. La dimensión del espacio imagen depende del tipo de campo: 1 para campos escalares (p. ej. temperatura), 3 para campos vectoriales en (p. ej. velocidad), 9 para campos tensoriales en (p. ej. deformación). En las secciones sucesivas detallaremos las peculiaridades de cada uno de estos tipos de campos.
Cabe plantearse la cuestión de qué se entiende porvalor en el punto ya que existen variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, sino que necesitan un volumen mínimo para poder ser definidas. De hecho, el mismo proceso de medida implica un cierto volumen de muestra. Pues bien, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:

(1.2)

donde es el valor promedio (medido) de sobre el volumen...