Conceptos matemáticos indroductorios

Introducción a la Economía
ALGUNOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS
El concepto de función.
Una función es una correspondencia que asigna un solo valor a cada uno de los elementos
de un conjunto dado.
Tomemos, por ejemplo, la función f:
y = f(x)
De acuerdo con esta expresión, x es la variable independiente (o argumento) de la función
f (y la representamos sobre el eje de las abscisas), mientras quey es la variable dependiente (y la
representamos en el eje de las ordenadas). En economía, a veces llamamos variable exógena a x, y
variable endógena, a y.
Lo que la función f hace es asignar a cada uno de los valores que la variable x puede tomar
un valor de entre aquellos valores que la variable y puede tomar.
Gráficos de dos variables: el sistema de coordenadas

La ecuación de una recta.Un tipo de función especial que tiene gran importancia son las llamadas “funciones
lineales”. Una función lineal entre las variables x e y toma la siguiente forma canónica:
y = b + a · x,
donde a y b son constantes (es decir, son elementos que al tomar un valor numérico
concreto describen una relación concreta entre las variables x e y).
Una característica importante de este tipo defunciones es que su gráfica es una línea
recta. Y de acuerdo con lo que se ha dicho antes, los rasgos concretos de esta línea recta son
determinados por las constantes a y b. En concreto, la constante a determina la pendiente de esa
línea recta, y la constante b define lo que llamamos la ordenada en el origen. Veamos por qué.

La pendiente de una línea recta.
Dados dos puntos cualesquiera de unalínea recta, la pendiente de esa línea viene dada
por un cociente que tiene como numerador la distancia vertical entre esos dos puntos, y como
denominador, la distancia horizontal que los separa.
En este sentido, tomemos dos puntos cualesquiera de una recta; por ejemplo, el punto
(x0,y0) y el punto (x1,y1) del gráfico que aparece más abajo.1 Supongamos que estamos sobre el
punto (x0,y0) y quenos desplazamos hasta el punto (x1,y1). En tal caso, ∆x = x1 - x0 nos diría cuánto
ha variado el valor de la abscisa como consecuencia de dicho desplazamiento, y ∆y = y1 - y0 nos
diría cuánto se ha modificado la ordenada. De acuerdo con la definición de pendiente, basta dividir
estas dos variaciones para obtener la pendiente de la línea recta en cuestión; es decir, la
pendiente es igual a:‫ݕ‬ଵ െ ‫ݕ‬଴ ∆‫ݕ‬
ൌ
ܲ݁݊݀݅݁݊‫ ݁ݐ‬ൌ
‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬଴ ∆‫ݔ‬

y1

(x1,y1)

∆y
y0

(x0,y0)

x0

x1
∆x

Observa que, por la propia definición de la pendiente como el cociente entre la variación
de las ordenadas y la variación correspondiente de las abscisas, la pendiente de una línea recta
nos está diciendo cuánto varía la variable representada sobre el eje de ordenadas por cada unidad
que varía lavariable representada sobre el eje de abscisas.
Además, como su nombre indica, la pendiente nos va a informar acerca de cómo de
inclinada se halla una recta. En este sentido, a mayor valor (en términos absolutos) de la
pendiente de una recta, más inclinada (es decir, más vertical) es esa recta.
El signo de la pendiente también es muy importante. Si la pendiente de una línea recta espositiva, esa recta es como la dibujada en el gráfico; es decir, si crece el valor de la variable
representada sobre las abscisas, también crece el valor de la variable representada sobre las
ordenadas. Por el contrario, si la pendiente es negativa, al crecer el valor de la variable
representada sobre las abscisas, se reduce el valor de la variable representada sobre las
ordenadas.

1

Observa quela expresión (x0,y0) describe un punto en el espacio cuya abscisa es x0 y cuya ordenada es y0.

Y ahora retomemos nuestra discusión anterior; a saber, ¿por qué la constante a en la
expresión canónica de una línea recta (es decir, en y = b + a · x) representa la pendiente de esa
línea recta?
Para contestar a esta pregunta, tomemos una línea recta cualquiera y dos puntos sobre...