Conceptos Preliminares

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Conceptos Preliminares |
FACULTAD DE INGENIERIA UNAM |
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NAVA CRUZ ROBERTO |
12/04/2011 |

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Conceptospreliminares
-Subtemas:

1.1 cinematica directa
1.2 Matriz de rotación
1.3 Sistema fijo y sistema Movil

1.1 Cinemática directa

El problema cinemático directo consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas que se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos delos elementos del robot.

En general, un robot de n grados de libertad está fomado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par articulación - eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entrelos distintos eslabones que componen el robot. La matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los distintos sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se denomina i−1Ai. Del mismo modo, la matriz 0Ak, resultante del producto de las matrices i−1Ai con i desde 1 hasta k, es la que representa de forma total o parcial la cadena cinemáticaque forma el robot con respecto al sistema de referencia inercial asociado a la base. Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz 0An se le denomina T, matriz de transformación que relaciona la posición y orientación del extremo final del robot respecto del sistema fijo situado en la base del mismo. Así, dado un robot de 6gdl, se tiene que la posición y orientación del eslabónfinal vendrá dado por la matriz T:

Para describir la relación que existe entre dos sistemas de referencia asociados a eslabones, se utiliza la representación Denavit - Hartenberg (D-H). Denavit y Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas {Si} ligado a cada eslabón i de una cadena articulada. Además, la representaciónD-H permite pasar de un sistema de coordenadas a otro mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.

Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones que permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i − 1. Las transformaciones en cuestión son lassiguientes:
* Rotación alrededor del eje zi−1 un ángulo ᶿ1
* Traslación a lo largo de zi−1 una distancia di.
* Traslación a lo largo de xi una distancia ai.
* Rotación alrededor del eje xi un ángulol
Teniendo ya los valores de i, di, ai, i, que son los denominados parámetros D-H del eslabón i, la matriz de transformación que relaciona los sistemas de referencia {Si−1} y {Si} es lasiguiente:

Desarrollando esta expresión en términos de los parámetros D-H, nos queda

1.2Matrices de Rotación

Este es el método más extendido para la representación de orientaciones debido principalmente a la facilidad que representa el álgebra matricial. Suponiendo dos ejes coordenados OXY (fijo) con vectores unitarios para un punto iX y jY y OUV (móvil) con vectores unitarios iu y jv, como semuestra en la figura:

En ambos sistemas un vector se puede representar como:

Es la matriz de rotación que define la orientación del sistema OUVW con respecto al sistema OXYZ.

Al igual que en dos dimensiones la matriz también puede representarse en función de sus cosenos directores. A continuación se muestran las matrices de rotación en función de sus cosenos directores para los giros...