condensadores

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educ. Superior
Universidad Yacambú
Araure – Portuguesa

























Rectas Tangentes y Rectas Normales

Cuando un problema geométrico está enunciado en términos de la recta tangente o la recta normal, los puntos de corte de estas con los ejes coordenados quedan expresados enfunción de la derivada y el modelo matemático que se obtiene va a representar una ecuación diferencial, ya que las pendientes de las rectas tangente y normal a una curva en un punto, se pueden expresar en términos de sus derivadas.
Estableciendo una diferenciación entre una recta tangente y una recta normal, consideraremos una curva F(x, y) = 0 y un punto P(x, y), donde la recta tangente a dichacurva en el punto P(x, y) es aquella recta, cuya intersección con la curva es solo el punto P(x, y). Y la recta normal a la curva F(x, y) = 0 en el punto P(x, y), es aquella recta perpendicular a la recta tangente y que pasa por el punto P(x, y).









Antes de continuar, haremos dos observaciones, una que como se está indicando con P(x, y) un punto genérico de la curva F(x, y) =0, para poder diferenciar se indicará con (X, Y) las coordenadas de cualquier punto de la recta tangente o de la recta normal. En el punto P(x, y), resulta que: X = x Y = y.
Y la segunda, que como se sabe ya que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual a la derivada de la curva evaluada en dicho punto., entonces la pendiente de la recta tangente Lt a la curva F(x,y) = 0 en el punto P(x, y) es mt = y’. Por ende decimos que la ecuación de la recta tangente es: Lt: Y – y = y’ (X – x).

Y puesto que la recta normal pasa por el mismo punto P(x, y) y es perpendicular a la recta tangente, la ecuación de ella sería: Ln : Y – y = – 1/ y’ ( X – x ).

Otra de las cosas que hay que tener en cuenta cuando se habla de dichas rectas, son los términos desubtangente y subnormal.

La Subtangente es el segmento de recta comprendido entre la proyección del punto P(x, y) sobre un determinado eje coordenado y el punto de corte de la recta tangente con dicho eje coordenado.
Y la Subnormal es el segmento de recta comprendido entre la proyección del punto P(x, y) sobre un determinado eje coordenado y el punto de corte de la recta normal con dicho ejecoordenado.

Una vez definidos ya los términos que estarán incluidos en los el desarrollo de los ejercicios, procederemos a la elaboración de los mismos.

1) La pendiente de la recta en cualquier punto (x,y) de una curva es 1+ Y/x. Si la curva para por el punto (1,1), encuentre su ecuación.
Solución:

Sea y = f(x) una curva cualquiera. De acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada,la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera P (x, y) es la derivada y’ de la ecuación de la curva evaluada en el punto de tangencia.

Por lo tanto, de acuerdo con el enunciado y’=1+ y/x. (1)

Como se debe encontrar la curva que pase por el punto (1,1), entonces hay que resolver la ecuacióndiferencial (1) sujeta a la condición y (1) = 1 , ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’

Dy= (1+ y/x) dx

Multiplicando por x nos quedaría:

x dy = ( x + y ) dx

Agrupando los términos a un solo lado de la igualdad:
( x + y ) dx - x dy = 0(2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 de homogeneidad. Sacando factor común x, en la ecuación (2) (x ≠ 0)

x

Multiplicando por 1/x y efectuando el cambio de variable

V= y/x ; Y= vx entonces dy= vdx+ xdv

(1+v) dx – (vdx + xdv) ; sacando factor común dx
(1+v-v) dx – xdv= 0 ; simplificamos

dx – xdv= 0...