Condiciones en la frontera

Condición de frontera
En matemáticas, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de frontera o contorno se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también safistace condiciones de frontera.
Un problema decondiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, como en las ecuaciones diferenciales que explican ciertos problemas físicos. Problemas que involucran la ecuación de onda son comúnmente problemas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores de frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville. El análisis de estos problemas involucran funciones propias yoperadores diferenciales.
Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de Dirichlet, o buscando una función armónica (solución de una ecuación de Laplace) cuya solución esta dada por el principio de Dirichlet.

Teoría de Sturm-Liouville
En matemáticas, la teoría de Sturm-Liouville, llamada así por Jacques Charles François Sturm (1803-1855) y JosephLiouville (1809-1882), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma:

Donde las funciones esta especificado en el inicio, y en el caso más simple son continuas en un intervalo finito cerrado . La formulación del problema viene generalmente con valores específicos de condiciones de frontera de . La función w(x) es llamada función de densidad o función de peso.
El valor de no seespecifica en la ecuación; encontrar los valores de éstos lambda donde exista una solución no trivial de la ecuación que satisfaga condiciones de frontera se denomina problema de Sturm-Liouville (S-L).
Tales valores de lambda son llamados valores propios del problema de valores de frontera y están condicionadas por el conjunto de condiciones de frontera. Las soluciones correspondientes sonfunciones propias del problema. Bajo suposiciones normales en los coeficientes de las funciones , éstas inducen operadores diferenciales hermíticos en algunas funciones definidas por las condiciones de frontera. La teoría resultante de la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la teoría cualitativa correspondiente de las funciones propias y sus funciones adecuadas completasse conoce como teoría de Sturm-Liouville. Esta teoría es importante en matemática aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy comúnmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separación de variables.
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Teoría de Sturm-Liouville
Ésta teoría nos indica que en el caso de condiciones de frontera regulares de la forma:
(1)
(2)
donde α,β están en elintervalo .
* Los valores propios del problema de Sturm-Liouville, donde es diferenciable, las funciones son continuas y las funciones son positivas sobre las condiciones de frontera, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que .
* A cada valor propio le corresponde una única función propia y tiene exactamente ceros en la frontera .
* Las funciones propias son mutuamenteortogonales y satisfacen la relación de ortogonalidad
(3)
donde es la función de peso.
* Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortogonalidad
(4)
donde es la delta de Kronecker.
* Los valores propios del problema de Sturm-Liouville puede ser caracterizado por el cociente de Rayleigh

Forma de Sturm-Liouville
La ecuacióndiferencial

se dice que es de la forma de Sturm-Liouville o de la forma autoadjunta. Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser igualada en ambos lados de la ecuación al multiplicarle por un factor integrante apropiado.
Ejemplos
* La ecuación de Bessel:

puede ser escrita en la forma de Sturm-Liouville así:

* La ecuación de Legendre:

puede ser transformada...