conduccion transferencia de calor

Transferencia por conducción

Sección 2
Ecuación de conducción
Fundamentos

Conducción: objetivos

1. Desarrollar un entendimiento profundo de la ley de
Fourier
2. Obtener la ecuación general de conducción de calor
3. Identificar las condiciones térmicas en las superficies y
expresarlas en forma matemática como condiciones de
frontera

Introducción

La transferencia de calor esuna cantidad vectorial. Tiene:
dirección y magnitud

Se asume positiva en la
dirección positiva del eje de
coordenadas

A

Introducción

La razón de transferencia de calor es proporcional al cambio
de la temperatura con respecto a la distancia

T
˙
Q=−k
A
x

[W ]

En general, la conducción es tridimensional y función del
tiempo T(x,y,z,t). Puede ser T(x,y,z)==>estacionario
La ec. general se puede expresar en coordenadas
cartesianas, cilíndricas o esféricas (polar)

Conducción multidimensional

El flujo de calor será siempre normal a una superficie de
temperatura constante (isotérmica) y en la dirección de la
temperatura decreciente
El flujo de calor es una cantidad vectorial (direccional). Por tanto
se puede expresar en sus componentes (medioisotrópico)

Q˙
q=
=−k ∇ T [W /m2 ]
˙
A
∂T
∂T
∂T
q=−k
i
+
j
+
k
˙
∂x
∂y
∂z
q˙ =i q˙ x + j q˙ y + k q˙ z
Q˙ x
Q˙ y
Q˙ z
∂T
∂T
∂T
q˙ x = =−k
q˙ y = =−k
q˙ z = =−k
Ax
∂x
Ay
∂y
Az
∂z

(

)

Conductividad térmica

Diferentes materiales

Sólidos

Conductividad térmica

Líquidos

Gases

Propiedades termo-físicas

Dos categorías:
– Propiedades detransporte: velocidad de difusión
• k, μ
– Propiedades termodinámicas: estado sistema
• cp, ρ
El producto ρ cp indica la capacidad del material para
almacenar energía térmica = inercia térmica
La difusividad térmica mide la capacidad de un material para
conducir respecto a la de almacenar energía térmica.
Caracteriza la rapidez con la que varía la temperatura del
material
k

=

cpGeneración de calor

Los procesos de conversión de energía eléctrica, nuclear
o química en calor son conocidos como generación de
calor
La generación de calor es un proceso volumétrico (ocurre
dentro del medio). La velocidad de generación  e˙ 
se suele especificar por unidad de volumen [W/m³]

E˙ gen=∫V e˙ gen dV
Si la generación es uniforme en todo el medio

E˙ gen= e˙ gen ×VGeneración de calor: ejemplo

La resistencia de alambre de un secador de cabello de
1200 W tiene 80cm de largo y un diámetro de 3mm.
Determinar la generación de calor en el alambre por
unidad de volumen

Generación de calor: ejemplo

La resistencia de alambre de un secador de cabello de
1200 W tiene 80cm de largo y un diámetro de 3mm.
Determinar la generación de calor en el alambre porunidad de volumen

E˙ gen
1200 W
e˙ gen=
=
2
V
 / 4∗D ∗L

Ecuación general de Conducción de calor

Q˙ y dy

∂T
Q˙ x =−k dydz
∂x

Q˙ x

E˙ gen , E˙ alm

Q˙ xdx

y

dX

x

Q˙ y

˙Q y =−k dxdz ∂ T
∂y
˙Q z =−k dxdy ∂ T
∂z

dz

Q˙ zdz

z

dy

Q˙ z

∂ Q˙ x
Q˙ xdx =Q˙ x
dx
∂x

∂ Q˙ y
Q˙ ydy =Q˙ y 
dy
∂y

∂ Q˙ z
Q˙ zdz =Q˙ z 
dz
∂zEcuación general de Conducción de calor

Ėentra – Ėsale + Ėgen= ΔE/Δt
ΔE
˙
˙
˙
˙
˙
˙
˙
[ Q x + Q y + Q z ]− [ Q x+ dx+ Q y+ dy + Q z+ dz ]+ E gen= Δ t
dE
∂T
∂T
=mc p
=ρ c p dx dy dz
, E˙ gen= e˙ gen V = e˙ gen dx dy dz
dt
∂t
∂t
∂ Q˙ x
∂ Q˙ y
∂ Q˙ z
∂T
−
dx−
dy−
dz e˙ gen dx dy dz= c p dx dy dz
∂x
∂y
∂z
∂t

     

∂ k ∂ T  ∂ k ∂ T  ∂ k ∂ T  e˙ = c ∂ Tgen
p
∂x ∂x
∂ y ∂ y ∂z ∂z
∂t

Ecuación general de Conducción de calor

1. Casos particulares:
– Conductividad constante

∂2 T ∂2 T ∂ 2 T e˙ gen 1 ∂ T
 2 2 
=
 ∂t
∂ x² ∂ y
k
∂z
– Régimen permanente (ec. de Poisson)

∂ T ∂ T ∂ T e˙ gen
 2 2 
=0
∂ x² ∂ y
k
∂z
2

2

2

– Régimen permanente unidimensional sin generación

∂2 T
=0
∂ x²

Ecuación general de...