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Guía Matemática
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MULTIPLOS Y DIVISORES
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profesor: Nicolas Melgarejo

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1.

M´ ltiplos y divisibilidad
u

Se dice que un n´mero a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dicho
u
de otra manera:
a es divisible por b s´ y s´lo s´ a = b · c donde c es cociente.
ı
o
ı
En base a esto podemos decir que acontiene a b exactamente c veces. Llamaremos m´ ltiplo de un
u
n´mero a un n´mero que contiene a otro una cantidad exacta de veces, por ejemplo 12 es m´ltiplo de 2
u
u
u
porque 12 contiene a 2 seis veces exactamente. Los m´ltiplos de un n´mero pueden obtenerse f´cilmente
u
u
a
multiplicando ese n´mero por la serie infinita de los n´meros naturales. Veamos un ejemplo con el conjunto
u
ude los m´ltiplos de 3.
u
Los m´ltiplos de 3 son:
u
3×1=3

3×3=9

3 × 5 = 15

3×2=6

3 × 4 = 12

3 × 6 = 18

.
.
.
3 × n = 3n

Si lo escribimos como conjunto por extensi´n:
o
M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . , 3n}
Los m´ltiplos de un n´mero n se obtienen multipliu
u
cando n por cada n´mero natural.
u

1.1.

N´ meros primos
u

Dentro de los n´meros naturales m´sinteresantes est´n los n´ meros primos, los que se caracterizan
u
a
a
u
por ser divisibles por 1 y por s´ mismos. Algunos ejemplos de n´meros primos son:
ı
u
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 37, 97
Otra caracter´
ıstica muy potente de los n´meros primos es que con ellos podemos generar cualquier
u
otro n´mero natural mediante la multiplicaci´n de ellos. Esta caracter´
u
o
ıstica laabordaremos m´s adelante.
a

1.2.

N´ meros compuestos
u

Cualquier n´mero natural que pueda escribirse como multiplicaci´n de 2 o m´s n´meros naturales
u
o
a u
distintos de 1 y s´ mimo, se denomina n´ mero compuesto. Por ejemplo el n´mero 12 lo podemos
ı
u
u
descomponer as´
ı:
12 = 3 · 4
=3·2·2
Si descomponemos el n´mero 18 en sus factores primos obtenemos:
u
18 = 2 · 9
=2·3·3Notar que los t´rminos que componen a un n´mero
e
u
compuesto coincide con sus divisores.

2

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1.3.

Pares e impares

Podemos separar el conjuntos de los enteros Z en dos subconjuntos: pares e impares. Llamamos par
a todo n´mero que es m´ltiplo de 2, es decir, si un n´mero lo podemos escribir como
u
u
u
P = 2n
donde n ∈ Z, entonces P es par independiente de que nlo sea. Entonces si dividimos un n´mero por
u
2 y el residuo o resto es 0, ese n´mero es par.
u
Los impares son n´meros que al dividir por 2 obtenemos 1 como residuo o resto. Dicho de otra
u
manera, podemos construir cualquier impar como un par m´s o menos uno.
a
I = 2n ± 1
donde n ∈ Z. En estas condiciones I es impar independientemente si n lo es.

2.

Criterios de divisibilidadPodemos darnos cuenta que a todos los m´ltiplos de un n´mero a los podemos identificar tambi´n
u
u
e
como n´meros divisibles por a.
u
Si b es m´ltiplo de a, entonces b es divisible por a
u
Existen ciertas caracter´
ısticas de los n´meros que nos permiten identificar por simple inspecci´n si
u
o
son divisibles por otro. A continuaci´n mostraremos algunos de estos criterios.
o

2.1.Divisibilidad por 2

Un n´mero se dice divisible por 2 si ´ste termina en cero o par. Algunos ejemplos de n´meros divisibles
u
e
u
por 2 son:
10

324.118

122

2.2.

1.224
40.336

1.200.770

Divisiblilidad por potencias de 10

Un n´mero es divisible por alguna potencia de 10 si termina en tantos ceros como el n´mero del
u
u
exponente de la potencia de 10. Por ejemplo 1.200termina en 2 ceros, entonces es divisible por 102 = 100.
En cambio 1.230 termina en 1 cero, por lo que, es divisible por 101 = 10. Algunos ejemplos:
120 es divisible por 10

53.000 es divisible por 1.000

1.300 es divisible por 100

120.000 es divisible por 10.000

3

¡Mira!

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2.3.

Divisibilidad por 5

Un n´mero es divisible por 5 si termina en cinco o cero....