Conectores binarios

Lenguaje Lógica Proposicional
María Manzano
Universidad de Salamanca

Curso 2009- 2010

María Manzano (Universidad de Salamanca)

LP

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1

Introducción

2

Gramática

3

Forma lógica

4

Formalización

5

El mundo de Tarski
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Introducción
Objetivos

I adquisiciónde un lenguaje arti…cial I formalización enunciados del español Características 1. uso declarativo del lenguaje 2. preciso, carente por completo de ambigüedad 3. de conectores 4. LP lógica proposicional
fórmulas atómicas sin cuanti…cadores 5. 5. 6. conectores como funciones veritativas (booleanos) falso signi…ca no verdadero bivalente
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¿Cómo se construye un lenguaje formal?
Alfabeto

El alfabeto contiene 1. conectores: :, _, ^, !, $ 2. letras proposicionales: p, q, r , s, ..., p1 , p2 , ... 3. paréntesis. Fórmulas: Se construyen mediante reglas

De…nition FORM(L0 ) es el menor conjunto que se puede generar mediante
Paso Básico: F1. Las letras proposicionales son fórmulas. Pasos Inductivos: F2. Si A y B sonfórmulas, también lo son: :A, (A ^ B ), (A _ B ), (A ! B ), (A $ B ).

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Example
¿Es una fórmula (((p ^ :p ) _ r ) ! r )? VERDADERO La demostración es como sigue: 1. 2 3. 4. 5. 6. p 2 FORM F1 r 2 FORM F1 :p 2 FORM F 2 en 1 F 2 en 1 y 3 (p ^ :p ) 2 FORM F 2 en 2 y 4 ((p ^ :p ) _ r ) 2 FORM F 2 en 5 y 2 (((p ^ :p ) _ r ) !r ) 2 FORM

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Forma lógica
Las fórmulas de nuestro lenguaje L0 que no son atómicas tienen cinco formas lógicas posibles: negaciones, conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. Forma lógica :A (A ^ B ) (A _ B ) (A ! B ) (A $ B ) En un condicional Denominación negación conjunción disyuncióncondicional bicondicional

(A ! B )
la fórmula A es el antecedente y B el consecuente.
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Ejemplos
¿ Son fórmulas todas las sucesiones …nitas de signos del alfabeto?

Solution
Por supuesto que no, debe ser conforme a las reglas F1 y F2.

Example
Sin alterar el orden de los signos, transformad las sucesiones de signos siguientesen fórmulas cuya forma lógica sea un condicional, utilizando paréntesis cuando sea necesario. 1. p ! r $ q 2. p _ r ! q _ r

(p ! (r $ q )) ((p _ r ) ! (q _ r ))

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Subfórmulas
Mediante árbol genealógico

Example
p q p j :p q j :q

(p _ q ) ((p _ q ) ! r )

r

(:p ^ :q )

El conjunto de las subfórmulases

(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q ))

(((p _ q ) ! r ) $ (:p ^ :q )), ((p _ q ) ! r ), (:p ^ :q ), (p _ q ), r , :p, :q, p, q
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Convenciones sobre notación
Abreviaturas usaremos los signos ? y > para “lo falso” y “lo verdadero”:

? : = p ^ :p > : = p _ :p
Reglas eliminación de paréntesis
1 2 3 4

paréntesis externospueden suprimirse conyuntor y disyuntor unen más que condicionador y bicondicionador conjunción o disyunción iterada puede escribirse sin paréntesis otros signos

:

^ &

_ g
LP

!

$ =

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Condicional
Example
Cartas LEY “Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un número par”. ¿A cuántas cartas tengo quedarle la vuelta para estar completamente segura de que la ley se cumple?

2
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1
LP

A

B
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Figura: Las cartas “sobre la mesa”

Formalización I

Al formalizar pretendemos:
1

claves de formalización de enunciados atómicos: asignarles letras p, q, r , fórmula del lenguaje formal cuya retrotraducción al castellano,...