Confección de ábaco de Hesiler para geometría cilíndrica

ENUNCIADO:
Construcción de un ábaco de Heisler
válido para números de Fourier menores

que 0,3 para el cilindro infinito
homogéneo en régimen transitorio.
Realizarlo mediante diferencias finitas por
el método implícito.

Ábaco de
Heisler
Para valores del número de
Fourier menores de 0,3

Ábaco de Heisler
Fundamentos de termotecnia

Introducción
Para poder generar un conjunto desoluciones precisas del ábaco de Heisler, debemos partir desde el
análisis más básico, realizando un balance térmico a un elemento cilíndrico diferencial de tal manera que
nos permita obtener la ecuación que modele la transferencia de calor en todo el conjunto del cilindro.
Además de esto, se deben plantear las ecuaciones de contorno que definan las fronteras del campo
térmico basándonos enciertas premisas.
Una vez hecho esto, nos encontraremos con un sistema de ecuaciones diferenciales que nos permitirá
obtener la temperatura en función de varias variables y parámetros; se procederá a la adimensionalización
de las variables para obtener una expresión de la temperatura más compacta que quede en función de la
posición relativa y del número de Fourier.
A continuación, se adaptaráel sistema de ecuaciones diferenciales de tal manera que pueda ser utilizado
mediante el método de resolución implícita por diferencias finitas. Para ello, utilizaremos un rango de
valores de posición relativa (entre 0 y 1) y de números de Fourier (entre 0 y 0,3 según delimita el
enunciado). Utilizaremos las definiciones discretas de las derivadas y obtendremos factor común de los
términoscorrespondientes a mismas posiciones y tiempos. Con ello, conseguiremos obtener un sistema de
variables discretas en forma matricial fácilmente resoluble mediante computador.
Ya habiendo obtenido nuestro sistema de ecuaciones discretas implementable en algún programa de
cálculo matemático, procederemos a obtener soluciones. Se utilizará para ello el paquete de cálculo
Matlab, que nos permitirátanto la obtención de resultados analíticos como gráficos.
Para finalizar, realizaremos una comparación de resultados con los datos del ábaco de Heisler obtenidos
empíricamente, y veremos si se corresponden los datos frontera.

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Ábaco de Heisler
Fundamentos de termotecnia

Balance térmico en elemento diferencial
Para proceder a analizar la transmisión de calor por conducción a través deun cilindro, tomaremos un elemento diferencial de volumen de un cuerpo
cilíndrico con propiedades genéricas (k, α, Cp, ρ…).

z

Puesto que el cuerpo que analizamos es de geometría cilíndrica, será más
práctico usar el sistema de coordenadas cilíndricas, el cual se corresponde
con las coordenadas cartesianas mediante las siguientes proporciones:

r

y

√
x
𝜕𝑟

𝜕𝑧

Por lo que unelemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas vendrá
dado por:

Para poder simplificar el modelo de transmisión de calor por conducción en un elemento cilíndrico
partiremos de las siguientes hipótesis:
1. Las propiedades del cilindro tales como la conductividad, el calor específico y la densidad (o el
coeficiente de película en los contornos en contacto con un fluido) sonhomogéneas e isótropas en
todos los puntos del cuerpo.
2. El cilindro se considerará infinito en la dirección de su eje, de tal manera que el campo escalar de
temperaturas generado en la pieza sea el mismo para cualquier porción de cilindro tomada a lo
largo del cilindro (Esto también es propiciado por la hipótesis 1).
3. Dado que el gradiente de temperaturas es contante para distintos valores de zy de (o en sentido
⁄
matemático: ⁄
), se considerará que la dirección de propagación del flujo de
calor será estrictamente radial.
4. Se considerará que la generación volumétrica de calor en el cilindro es nula, aunque se tendrá en
cuenta el término de generación de calor a la hora de plantear el balance de flujos de calor.
5. Supondremos que el cilindro es macizo y que está su...