Congetura de hodge

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Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se relacionan la topologíaalgebraica de una variedad algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto, la conjetura dice que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos, esto es,son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de subvariedades.
La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del milenio del Clay Mathematics Institute, por lo que hay un premio deUS$1,000,000 por demostrarla.
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[editar]Motivación
Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X es una variedaddiferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de cohomología residen en grados cero a través de 2n. Asúmase que X es una variedad de Kähler, por lo que hay una decomposición en su cohomología concoeficientes complejos:

donde  es el subgrupo de grupos de cohomología que están representados por formas armónicas de tipo (p, q). Esto es, estas son los grupos de cohomología representados porformasdiferenciales que, en una determinada opción de coordenadas locales , puede ser escritas como tiempos de funciones armónicas . (Véase Teoría de Hodge para más detalles). Tomar productos exteriores de estosrepresentantes armónicos se corresponde con el cup producten cohomología, por lo que cup product es compatible con la decomposición de Hodge:

Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clasefundamental.
Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de inclusión. Elíjase una forma diferenciada  del tipo (p, q). Podemos integrar  sobre Z:

Para evaluaresta integral, elíjase un punto de Z y llámesele 0. Alrededor de 0, podemos elegir coordinadas locales  en X tal que Z sea . If p > k, entonces  debe contener algún  donde  tienda a a cero en Z....