Congoo

Planos en el espacio
Intersecciones entre planos y rectas

c Jana Rodriguez Hertz – p. 1/2

Recta - definición (Clase pasada)
Dados P punto y V = 0 vector, recta que pasa por P con dirección V : r = {P + λV : λ ∈ R} ⊂ R3

P → punto de paso de r V → vector director de r

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

Recta - ecuaciones paramétricas
  x = x0 + λv1  y = y0 + λv2   z = z + λv 03

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

Ecuaciones reducidas de la recta
a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

Planos

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

plano - definición

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

P punto

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

P punto U y V vectores no colineales

c JanaRodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

P punto U y V vectores no colineales se define el

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

P punto U y V vectores no colineales se define el plano que pasa por P con dirección || a U y V como el conjunto:

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

P punto U y V vectores no colineales se define el plano que pasa porP con dirección || a U y V como el conjunto: π = {P + λU + µV : λ, µ ∈ R}

c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

plano - definición

U y V vectores directores de π

c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

plano - ecuaciones paramétricas
  x = x0 +λu1 +µv1  y = y0 +λu2 +µv2   z = z +λu +µv 0 3 3

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

plano - ecuaciones paramétricas
  x = x0 +λu1 +µv1  y =y0 +λu2 +µv2   z = z +λu +µv 0 3 3

donde

c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

plano - ecuaciones paramétricas
  x = x0 +λu1 +µv1  y = y0 +λu2 +µv2   z = z +λu +µv 0 3 3  u1   U =  u2  u3  

donde 

x0   P =  y0  z0

v1   V =  v2  v3





c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

Ejemplo
El plano π que pasa por P = (0, −1, 1) con vectores directores U = (1,−2, −1) y V = (−1, 3, 1)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
El plano π que pasa por P = (0, −1, 1) con vectores directores U = (1, −2, −1) y V = (−1, 3, 1) tiene ecuaciones paramétricas

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
El plano π que pasa por P = (0, −1, 1) con vectores directores U = (1, −2, −1) y V = (−1, 3, 1) tiene ecuaciones paramétricas  x= λ −µ  (S) y = −1 −2λ +3µ  z = 1 −λ +µ

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
 x= λ −µ  (S) y = −1 −2λ +3µ   z = 1 −λ +µ

¿Q = (1, −2, 0) ∈ π?

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
1= λ −µ (S) −2 = −1 −2λ +3µ   0 = 1 −λ +µ   

¿Q = (1, −2, 0) ∈ π?

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
1= λ −µ (S) −2 = −1 −2λ +3µ   0 = 1 −λ +µ   

¿Q = (1, −2, 0) ∈ π?

sí, con λ = 2 yµ = 1

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
1= λ −µ (S) −2 = −1 −2λ +3µ   0 = 1 −λ +µ   

¿Q = (1, −2, 0) ∈ π?

sí, con λ = 2 y µ = 1 o sea Q = P + 2λU + V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo
1= λ −µ (S) −2 = −1 −2λ +3µ   0 = 1 −λ +µ   

en general,

Q = (x, y, z) ∈ π ⇔ (S)es compatible

c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

Ejemplo 2
Analicemos quécondición tienen que cumplir (x, y, z) para que el sistema sea compatible

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

Ejemplo 2
Analicemos qué condición tienen que cumplir (x, y, z) para que el sistema sea compatible   1 −1 x    −2 3 y + 1  −1 1 z − 1

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

Ejemplo 2
Analicemos qué condición tienen que cumplir (x, y, z) para que el sistema sea compatible   1 −1 x   −2 3 y + 1  −1 1 z − 1

buscamos las condiciones de compatibilidad, con λ y µ como únicas incógnitas.

c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

Ejemplo 2
Analicemos qué condición tienen que cumplir (x, y, z) para que el sistema sea compatible   1 −1 x    −2 3 y + 1  −1 1 z − 1

buscamos las condiciones de compatibilidad, con λ y µ como únicas incógnitas. Escalerizando, se...