Congruencia de triangulos

1 CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICION: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. SI ABC  DEF , entonces:

AB  FD; AC  DE ; BC  FE A  D; B  F ; C  E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seiscondiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L ) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si AB  DF ; BC  FE; B  F EntoncesABC  DEF

DEFINICION: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

2 TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes HIPOTESIS: ABC es isósceles con CA  CBTESIS: CAB  CBA

RAZON     1. En CA se toma un punto D y en CB se toma un punto E, tal que CD  CE 2. Trazamos DB y AE 3. CA  CB 4. CD  CE 5. C  C 6.  CAE  CBD 7. CAE = CBD 8. CD  CE 9. CA + AD = CB + BE 10. CA + AD = CA + BE 11. AD  BE 12. CDB  CEA; DB  AE

AFIRMACION 1. Postulado de construcción de segmentos 2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hipótesis 4. De1. Construcción. 5. Propiedad reflexiva 6. L – A – L. De 3, 4, 5 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 8. De 1 9. De 8. Adición de segmentos 10. Sustitución de 3 en 9 11. De 10. La ley cancelativa

12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes 13. De 11 y 12. L – A – L 13. ABD  EAB 14. EAB = DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.15. CAB = CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triangulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.

3 TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura ypertenece a la mediatriz de la base.

1. CA  CB 2. 1 = 2 3. CD  CD 4. CDA  CDB 5. AD  DB 6. D punto medio de AB 7. CD es mediana 8. CDA = CDB 9. m (CDA) + m (CDB) = 180º 10. m (CDA) + m (CDA) = 180º 11. 2m (CDA) = 180º, m (CDA) = 90º 12. CD  AB 13. CD es altura

1. De hipótesis. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L 5. De 4. Porser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Definición de punto medio 7. De 6. Definición de mediana 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. De 12. Definición de altura 14. De 12 y 6. Definiciónde mediatriz.

  14. CD es mediatriz

NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulosson congruentes.

NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.

4 TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

 
1. En el semiplano de borde AB que no   contiene a C, se traza AP , tal que

1. Postulado de construcción de...