Congruencia De S Rectángulos

CONGRUENCIA DE (s RECTÁNGULOS

TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.

2. RCAady: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a dicho cateto.

3. RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto adicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. (Ejercicio)

Dm:
1. Por el axioma LAL
2. Por el teorema ALA
3. Por el teorema A1 A2 L1
4. Por el teorema A1 A2 L1


CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS NOTABLES HOMÓLOGAS

TEOREMA: Si dos triángulos son congruentesentonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homólogas son congruentes. (Ejercicio)


PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Ya demostrados
1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto, coinciden y recíprocamente.(Ya demostrado)

3. Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices. (Ejercicio)

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo mayor y recíprocamente.

Dm:
[(] Supongamos que en el (ABC [pic]. Tomemos D sobre [pic] con AD=AB y tracemos[pic].

Resulta el (ABD isósceles y (ABD((ADB. Como [pic] es interior al (ABC entonces [pic] luego [pic]. Además [pic] (por (exterior en el (DBC), y por transitividad [pic], es decir, en el (ABC se obtiene que [pic].

[(] Supongamos que en el (ABC [pic](*) y probemos que [pic]. Supongamos que [pic] ó AC=AB. Si [pic] entonces por la primera implicación se obtiene [pic] lo que contradice(*). Si AC=AB entonces el (ABC es isósceles y resulta (B=(C que también contradice (*). En definitiva se debe cumplir que [pic].


COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. (Ejercicio)

2. En todo triángulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ángulo obtuso. (Ejercicio)


DESIGUALDAD TRIANGULAR

TEOREMA: En todotriángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm: (Ejercicio)

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos.
(Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)

3.Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

Dm:

[(] Consideremos (ABC y (DEF tales que AB=DE,AC=DF y [pic] y probemos que [pic].


Tracemos [pic] en el interior del (BAC tal que (BAG((EDF y AG=DF; tracemos el segmento [pic]. Por el axioma LAL resulta (BAG((EDF, luego BG=EF (LsHs). Tracemos [pic] bisectriz del (GAC con B–R-C y tracemos [pic]. Por el axioma LAL se obtiene (GAR((CAR, luego RG=RC (LsHs). Además en el (BRG se tiene [pic], luego [pic], por lo tanto [pic].
[(](Ejercicio)

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la...