Congruencia

Congruencia
Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a y b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que a es congruente con b módulo m. Las siguientes expresiones son equivalentes:
* a Es congruente con b módulo m

* El resto de aentre m es el resto de b entre m

* m divide exactamente a la diferencia de a y b

* a se puede escribir como la suma de b y un múltiplo de m

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p y cada entero a nodivisible por p tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir x puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k + 4 y 11k + 7.Contrariamente la congruencia, no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquitiones Aritmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
Larelación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:
* La congruencia para un módulo fijo m es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:
1. reflexividad:
2. simetría: si entonces también
3. transitividad: si y entonces también.
* Si a es coprimo con m y, entonces b también es coprimo con m.
* si y k es un enteroentonces también se cumple
Y:
* si además k es coprimo con m, entonces podemos encontrar un entero k − 1, tal que

Y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

Donde por definición ponemos a / k = ak − 1.
* Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
y
Podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma quetambién se verifican las congruencias
Y

Proposiciones
Una proposición, para los fines de esta exposición, es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, "Pedro comió a las 3", "Me gusta la sopa". Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración (o proposición) es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad. Sinembargo, esto no cambia el hecho de que existe sólo una posibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa. Algunas declaraciones que no califican con este criterio son "Tu sweater es bonito", ײ=9, "¿Cómo dijiste?".Esta definición propuesta es una definición formal, esto es, una definición que se ha hecho cuidadosamente para que todas las posibilidades queden cubiertas; se hahecho de este modo con el fin de que no existan ambigüedades ni malentendidos. En muchas ocasiones, se utilizan letras para representar las proposiciones. Se dice que una proposición es simple o atómica, si no está compuesta por otra proposición. Las Proposiciones compuestas se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples.es un rollloDefiniciones: la representación de unaproposición es en letras minúsculas seguidas de ":"Dadas las proposiciones P y Q La conjunción de P y Q, cuya notación es PQ, es la proposición P y Q. PQ es verdadera únicamente cuando ambas P y Q son verdaderas. La disyunción de P y Q, cuya notación es PQ, es la proposición P o Q. PQ es verdadera únicamente cuando al menos una de las proposiciones P y Q es verdadera. La negación de P, cuya notación es...